Харьковская академия непрерывного образования. Задания ІІ (районного) этапа Всеукраинской ученической олимпиады по математике

Задания ІІ (районного) этапа Всеукраинской ученической олимпиады по математике

Класс

1. Решите уравнение .

2. На графике функции, заданной многочленом с целыми коэффициентами, отмечены две точки с целыми координатами. Докажите, что если расстояние между ними — целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

3. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABB₁A₂, BCC₁B₂ и CAA₁C₂. На отрезках A₁A₂ и B₁B₂ также во внешнюю сторону от ΔAA₁A₂ и ΔBB₁B₂ построены квадраты A₁A₂A₃A₄ и B₁B₂B₃B₄. Докажите, что A₃B₄ || AB.

4. Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все её члены увеличить на 1 или все её члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина n²d, где d – разность прогрессии, а n – число её членов?

Харківська академія неперервної освіти

Завдання ІІ (районного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

Клас

1. Розв’яжіть рівняння

2. На графіку функції, заданої у вигляді многочлена з цілими коефіцієнтами, позначені дві точки з цілими координатами. Доведіть, що коли відстань між ними – ціле число, то відрізок, який їх з’єднує паралельний осі абсцис.

3. На сторонах трикутника ABC зовні побудовано квадрати ABB₁A₂, BCC₁B₂ і CAA₁C₂. На відрізках A₁A₂ і B₁B₂ також у зовнішню сторону від ΔAA₁A₂ і ΔBB₁B₂ побудовано квадрати A₁A₂A₃A₄ і B₁B₂B₃B₄. Доведіть, що A₃B₄ || AB.

4. Сума модулів членів скінченої арифметичної прогресії дорівнює 100. Якщо всі її члени збільшити на 1 або всі її члени збільшити на 2, то в обох випадках сума модулів членів отриманої прогресії буде також дорівнювати 100. Які значення за цих умов може набувати величина n²d, де d – різниця прогресії, а n – число її членів?