Отыскание параметров выборочного уравнения среднеквадратической регрессии по несгруппированным данным

Пусть изучается система количественных признаков (X,Y). В результате n наблюдений получены n пар чисел:

(x₁, y₁); (x₂, y₂); (x₃, y₃); …;….. (x_n, y_n).

По данным наблюдений найдем выборочное уравнение прямой линии регрессии:

.

Т.к. различные значения X и Y встречаются по одному разу, то группировать данные нет необходимости, следовательно, условную среднюю использовать тоже нет необходимости, поэтому:

Угловой коэффициент прямой регрессии Y на X называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X и обозначают :

Подберем коэффициенты и таким образом, чтобы точки:

(x₁, y₁); (x₂, y₂); (x₃, y₃); …….. (x_n, y_n);

лежали на плоскости как можно ближе к прямой

.

Разность между и назовем отклонением, где

– ордината, соответствующей точки,

– ордината соответствующей точки, вычисленная по

.

Далее будем писать вместо просто .

Подбираем и таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной:

Наименьшее значение данной функции будем считать, используя метод наименьших квадратов. Для этого вычисляем частные производные от этой функции и приравниваем их к нулю.

,

,

.

Полученная система - нормальная система метода наименьших квадратов. Используя систему, получаем:

.

Аналогичным образом можем получить уравнение прямой линии среднеквадратической регрессии X на Y:

.

Корреляционная таблица.

При большом числе наблюдений одно и то же значение может встречаться раз, а одно и то же значение - раз. Одна и та же пара может встречаться раз. Поэтому такие данные группируют, т.е. подсчитывают частоты , , .

Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной: