Неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева справедливо для ДСВ и НСВ

Неравенство Чебышева справедливо для ДСВ и НСВ.

Докажем для ДСВ:

Пусть дана ДСВ Х и ее закон распределения.

X	x1	x2	x3	……	xn
P	P1	P2	P3	……	Pn

Теорема: Вероятность абсолютного отклонения случайной величины от M(X) на число не превосходящее e не меньше разности 1- (D(X) / e²)

P(ê x – M(X) ê < e) ³ (1 - (D(X) / e²))

Доказательство: События {ê x – M(X) ê < e } и {ê x – M(X) ê ³ e } противоположны. Тогда вероятность первого события:

P(ê x – M(X) ê < e) = 1 - P(ê x – M(X) ê ³ e).

Вычислим

.

Все слагаемые D(X) положительные. Отбросим из данной суммы те слагаемые, для которых (x_i – M(X)) < e, тогда:

В последнем неравенстве в правой части остались те слагаемые, для которых

(x_i – M(X)) ³ e, (x_i – M(X))² ³ e², откуда D(X) ³ e² *(p_k+1 + p_k+2 +…+ p_n).

Сумма вероятностей p_k+1 + p_k+2 + …. + p_n - есть не что иное, как вероятность того, что:

P(êX – M(X) ê ³ e), тогда D(X) ³ e² * P(êX – M(X) ê ³ e),

P(êX – M(X) ê³ e) £ D(X)/e²; P(êX – M(X)ê<e) ³ 1 - D(X)/e²,

что и требовалось доказать.