Прогнозування параметрів процесів методом екстраполяції

В практичних задачах математичного моделювання часто виникає необхідність обчислення значень параметра процесу за межами інтервалу [ ], в якому деякий параметр процесу у є заданим. Знаходження значень функції за межами інтервалу відомих значень складає задачу екстраполяції. Вона полягає в продовженні (прогнозуванні) відомих значень функції параметра процесу в більш широку область визначення. Це відповідає прогнозуванню поведінки процесу в майбутньому.

Задачу екстраполяції формулюють двома дещо відмінними способами. Перший стосується екстраполяції функції, заданої в символьному вигляді скрізь між двома заданими точками в межах інтервалу [ ]. Другий спосіб полягає в екстраполяції функції, яка задана в інтервалі [ ] лише в деяких окремих точках - вузлах. Процедура екстраполяції, згідно цих способів, ілюструється графіками, наведеними на рис. 10.6.

Для реалізації другого способу звичайно здійснюють інтерполяцію або апроксимацію таблично заданої залежності в межах відомого інтервалу [ ] з одержанням символьної залежності (x) (див. рис. 10.6, б). Після цього виконують екстраполяцію, використовуючи вищевказану символьну залежність, іноді більш доцільно при екстраполяції використовувати лише залежність у табличному вигляді.

Процедура екстраполяції може бути здійснена з необхідною точністю для довільного інтервалу в одному практично важливому окремому випадку. Цей випадок стосується екстраполяції періодичних процесів. Періодична функція значення якої відоме протягом всього періоду, екстраполюється на необмежений інтервал шляхом періодичного повторення її значень.

Символьне значення функції інтервалі [ ] може бути задане аналітичним виразом або деякою процедурою чи алгоритмом. Якщо цей вираз допускає продовження за межі відомого інтервалу, то екстраполяція може бути здійснена простим обчисленням символьного виразу за межами інтервалу. Більш складним є випадок, коли обчислення неможливі або недоцільні. Наприклад, коли екстрапольовані значення за межі інтервалу треба подати в більш простому вигляді, ніж символьне задана функція в середині відомого інтервалу.

Область відомих значень

Область прогнозованих значень

а)

Область відомих значень

Область прогнозованих значень

б)

Рис. 10.6. Різні способи формулювання задачі екстраполяції функції f(x) за межі відомого інтервалу заданих значень цієї функції: а - функція, відома у символьному вигляді в кожній точці інтервалу [ ] і яка екстраполюється в кожну точку області прогнозованих значень; б - функція в заданому інтервалі, визначена дискретною множиною значень і яка екстраполюється на ряд точок області прогнозованих значень

Розглянемо методику і особливості екстраполяції функції, яка задана в символьному вигляді в деякому інтервалі [ ]. Екстраполяція даної залежності не є однозначною процедурою. Можливі різні варіанти здійснення процедури екстраполяції. На рис. 10.7 показано графічну інтерпретацію багатозначності процедури, екстраполяції функції.

Екстрапольовані значення f(x)

Фактичні значення f(x) при х > х„

Область відомих значень

Область прогнозованих значень

Рис. 10.7 Графічна інтерпретація можливих варіантів екстраполяції функціональної залежності f(x) за межами інтервалу [ ]; (x) - екстраполяція лінійною залежністю; (x) - екстраполяція параболічною залежністю; (х) - екстраполяція кубічною параболою

Екстраполяція здійснюється за умови, що властивості функції, які вона має в заданому інтервалі [ ] зберігаються і за межами інтервалу. Треба зазначити, що для здійснення екстраполяції недостатньо одного лише значення функції в точці х„. Властивості функції визначаються похідними різких порядків. Якщо функція гладка і неперервна, то масив значень її похідних на межі інтервалу (в точці ) в принципі дозволяє виконати екстраполяцію на довільний проміжок . Точність екстраполяції підвищується із збільшенням числа похідних, які використовуються для розрахунку екстрапольованих значень. Похідна нульового порядку, тобто саме значення функції, самостійно не дає можливості виконати екстраполяцію, але її застосування є необхідним в комплексі з похідними першого і більш високих порядків.

Найбільш простим випадком екстраполяції є екстраполяція лінійною функцією. Аналітична залежність для розрахунку екстрапольованих значень включає значення функції та похідної на межі інтервалу і має вигляд:

Цей вид екстраполяції має невисоку точність і застосовується лише для малих значень інтервалу екстраполяції [ ]. Лінійна функція дає можливість врахувати лише першу похідну відомої залежності (див. рис. 10.7).

Для врахування похідних другого і вищих порядків екстраполяція здійснюється за допомогою полінома Тейлора. На рис 10.7 показано характер підвищення точності екстраполяції при врахуванні другої (крива (х)) та третьої похідних (крива (х)).

В загальному випадку екстрапольоване за допомогою полінома Тейлора значення функції визначається формулою:

Обчислення похідних високого порядку звичайно вносить похибку в розрахунки. Це особливо суттєво у випадку, коли функція змінюється мало, а значення похідних є великими. Ця ситуація є типовою при прогнозуванні значень процесів, які мають високочастотні осциляції. На рис. 10.8 схематично показано залежність, яка має високочастотну осциляцію.

Якщо виконати екстраполяцію залежності, наведеної на рис. 10.8, за межі відомого інтервалу [ ] використовуючи похідні навіть дуже високого порядку, то одержаний результат прогнозу (х) буде суттєво відрізнятись від фактичною значення процесу. Високочастотні осциляції суттєво знизили точність екстраполяції.

Для підвищення точності екстраполяції в даному випадку рекомендується проводити екстраполяцію не самою процесу, а його обвідних (х) та (х) або середнього значення (х), яке визначається згідно умови:

Рис. 10.8 Особливості екстраполяції процесу, в якому наявні високочастотні осциляції

Високочастотні осциляції процесу, при необхідності, враховуються як додаткова періодична чи квазіперіодична складова процесу.