Лінійна та поліноміальна інтерполяція

Процедура знаходження значень функції між двома заданими точками має назву інтерполяції функції. В більш загальному вигляді процедура інтерполяції полягає в знаходженні аналітичної функції F(x), що точно (в межах необхідної точності) відповідає значенням функції у заданих точках (вузлах інтерполяції).

Розглянемо практично важливі випадки та особливості процедури інтерполяції.

Нехай деяка функція, що описує процес в технічній системі, задана у дискретній множині точок, які називаються вузлами інтерполяції:

,..., А_n

Ці точки відповідають значенням аргументу (і= 0, 1, 2,..., n) і в них задані значення функції (і=1, 2,..., n).

Задача інтерполяції полягає у знаходженні функції F(х), графік якої з'єднує, задані точки ..., А_N.

Задача інтерполяції може бути вирішена нескінченним числом способів. На рис. 10.1 показано геометричну інтерпретацію характерних варіантів процедури інтерполяції процесів, заданих дискретними множинами значень.

Рис.10.1. Геометрична інтерпретація різних способів інтерполяції:

а - лінійна; 6 - поліноміальна (параболічна);в — інтерполяція експонентою, г - інтерполяція синусоїдою

Коли точки ,..., А_n з'єднуються найкоротшими кривими, а вони, як відомо, є прямими лініями, то одержимо функцію F(x) у вигляді полігона маємо лінійну інтерполяцію функції (рис. 10.1, а).

Для інтерполяції можна використати залежності різного виду. Найбільш поширеним є використання поліноміальних залежностей (рис. 10.1, б). Окремими випадками поліноміальної інтерполяції є лінійна інтерполяція. Вона використовує поліноми першого степеня. Параболічна (квадратична) інтерполяція використовує поліном другого степеня. Інтерполяція кубічною параболою використовує поліном третього степеня. На практиці застосовуються поліноми не вище 5...10 степеня.

В ряді спеціальних випадків для інтерполяції використовують залежності іншого виду, наприклад, експоненціальну (рис. 10.1, в) або тригонометричну (рис. 10.1, г). Звичайно у цих випадках повинна виконуватись умова належності вузлів інтерполяції вибраній залежності або виконання необхідних асимптотичних співвідношень.

Найбільш простим і поширеним способом інтерполяції є лінійна інтерполяція. Процедура інтерполяції за даним методом полягає у знаходженні ламаної лінії, яка проходить через всі задані точки. Для знаходження параметрів прямої, яка проходить через дві точки, необхідна інформація про функцію лише в цих двох точках, тому що через дві точки можна провести лише одну пряму. Задача лінійної інтерполяції є однозначною і вона полягає у знаходженні сукупності лінійних аналітичних залежностей, кількість яких на одиницю менша кількості вузлів інтерполяції.

Геометрична інтерпретація процедури лінійної інтерполяції наведена на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Геометрична інтерпретація процедури лінійної інтерполяції процесу, заданого у вигляді масиву точок ,...,

Рівняння прямої, що з'єднує вузли інтерполяції A_i та A_i+1, має вигляд:

(10.1)

де - постійні коефіцієнти, визначені для інтервалу [ ].

Застосувавши формулу (10.1) для всіх вузлів інтерполяції, одержимо систему рівнянь:

(10.2)

Розв'язок системи (10.2) знайдемо за правилом Крамера. Відповідно

i=0,…, n-1. (10.3)

Формули (10.3) визначають в загальному вигляді коефіцієнти лінійних залежностей для кожного інтервалу між вузлами інтерполяції. В результаті для кожного проміжку між вузлами інтерполяції , що відповідає інтервалу зміни аргументу визначена пряма, коефіцієнти якої залежать від координат вузлів інтерполяції, а саме:

(10.4)

Лінійна інтерполяція функцій є найбільш простою і найбільш грубою інтерполяційною процедурою. Основними недоліками лінійної інтерполяції є низька точність та наявність неоднозначності (розриву значень) похідних одержаної кусково-лінійної аналітичної функції у вузлах інтерполяції. Тому для інтерполяції застосовуються більш точні методи, зокрема, це інтерполяція функцій поліномінальними залежностями довільного виду. В цьому випадку аналітична функція, що використовується при інтерполяції, має вигляд:

F(x)= де - коефіцієнти полінома;

m - степінь полінома (ціле додатне число).

При інтерполяції функцій поліномами необхідно враховувати наступне. Через два вузли інтерполяції можна провести лише одну лінію, яка відповідає поліному першого степеня, через три вузли можна провести єдину квадратичну параболу (відповідає поліному другого степеня), через чотири вузли — лише одну кубічну параболу (відповідає поліному третього степеня). В загальному випадку через (n + 1) вузлів інтерполяції може бути проведена крива, яка відповідає поліному n-го степеня. Цей поліном буде єдиний для даних вузлів інтерполяції.

Відповідно до цього можна послідовно об'єднати вузли інтерполяції по парах, по трійках, по чотири п'ять, шість та більше вузлів і виконати інтерполяцію відповідно поліномами першого степеня (розглянуту раніше лінійну інтерполяцію), другого степеня (квадратичну інтерполяцію), третього степеня і вище.

Розглянемо практично важливий випадок інтерполяції функції поліномом другого степеня - квадратичну інтерполяцію. Поліном другого степеня відповідає квадратичній параболі.

На рис. 10.4 показана геометрична інтерпретація квадратичної інтерполяції функції, заданої в трьох вузлах.

, F(x)

Рис. 10.4 Графічна інтерпретація квадратичної інтерполяції функції, заданої в трьох вузлах

Аналітична функція (поліном другого степеня), що використовується для квадратичної інтерполяції, має вигляд:

Визначимо коефіцієнти полінома. Для спрощення викладок приймемо, що різниця аргументів сусідніх вузлів інтерполяції є постійною:

а центр координат розташуємо в точці 0. Тоді

Для визначення коефіцієнтів прирівняємо значення функцій у вузлах інтерполяції. Одержимо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів:

Розв'язком даної системи рівнянь є значення коефіцієнтів полінома:

Якщо вузлів інтерполяції більше трьох, квадратична інтерполяція може здійснюватись послідовно для кожної трійки вузлів. Для вузлів маємо криву (рис. 10.5), для вузлів - криві , і = 1, 2,..., 6.

Рис. 10.5. Квадратична інтерполяція, здійснена послідовно для кожної трійки вузлів

Геометрична інтерпретація, наведена на рис. 10.5, ілюструє характерний недолік квадратичної інтерполяції. Він полягає в тому, що сусідні криві спряжуються таким чином, що виникає неоднозначність (наприклад, між точками А₁ таА₂) та порушення неперервності похідної результуючої кривої. Наприклад, в точці похідні кривих i є суттєво різними.

Цих недоліків можна позбутися, якщо для інтерполяції використати поліном відповідного, більш високого степеня.

В загальному випадку для довільної дискретної моделі процесу, заданого в (n + 1) точках, знаходять поліном степеня n.

Цей поліном часто записують у вигляді інтерполяційного полінома Лагранжа (інтерполяційна формула Лагранжа):

(10.5)

де - функції форми, які залежать від значення змінної х.

Інтерполяційна формула Лагранжа (10.5) може бути записана у матрично-векторному вигляді:

де - матриця-стрічка, компонентами якої є функції форми;

- вектор-стовпець значень функції у вузлах інтерполяції. Функції форми мають властивість:

1, 2,…, n).

Функції форми виражаються через поточне значення аргументу х та через масив точкових значень аргументу х, у вузлах інтерполяції за наступними залежностями:

Крім інтерполяційної формули Лагранжа, відомі та використовуються й інші форми інтерполяційних поліномів, зокрема, це інтерполяційні формули Ньютона, Стірлінга, Бесселя, Ерміта, Еверета, Стефенсона та інші.