Тесты по геологии 1 страница

Планирование первого порядка

Представление неизвестной функции отклика (12.1) полиномом является наиболее удобным. На первой стадии исследования обычно принимают полином первой степени. Так для трехфакторной задачи теоретическое уравнение регрессии в этом случае имеет вид

(12.2)

Уравнение регрессии, получаемое на основании результатов эксперимента, в отличие от приведенного выше теоретического уравнения, имеет вид

(12.3)

где коэффициенты регрессии являются оценками для теоретических коэффициентов регрессии , т.е.

Выбор основных факторов и их уровней. В качестве факторов можно выбирать только контролируемые и управляемые переменные, т.е. такие, которые исследователь может поддерживать постоянными в течение каждого опыта на заданных уровнях. В число факторов должны быть включены параметры процесса, оказывающие наиболее сильное влияние на функцию отклика. Для выяснения наиболее важных факторов анализируется априорная информация, ранее проведенные аналитические и экспериментальные исследования. При необходимости с этой целью проводят специальные опыты, получившие название «отсеивающий эксперимент».

Для каждого фактора надо указать тот интервал изменения параметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливаются ориентировочные значения факторов (при оптимизации они выбираются так, чтобы их комбинации давали наилучший результат или близ кий к нему). Этой комбинации значений факторов соответствует многомерная точка в факторном пространстве, которая и принимается за исходную точку при построении плана эксперимента. Координаты этой точки называют основными (нулевыми) уровнями факторов.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни фактора. Этот интервал принимается за единицу нового масштаба измерения фактора. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний – 1, а основной соответствовал 0.

Для факторов с непрерывной областью определения это достигается с помощью формулы преобразования

(12.4)

где x_i – кодированное значение фактора; – значение фактора в натуральных единицах; – значение основного уровня в натуральных единицах; – единица масштаба (интервал варьирования); i – номер фактора.

Выбор интервалов варьирования производится на основе опыта и интуиции исследователя. При этом следует учитывать точность фиксирования факторов, оценивать силу влияния фактора на отклик у, погрешность измерения величины у. Все это поможет избежать ситуации, при которой интервал варьирования окажется недостаточным для того, чтобы уловить изменение у.

Важно учитывать характер решаемой задачи. При решении: задачи оптимизации стремятся выбрать для первой серии экспериментов такую единицу масштаба, которая давала бы возможность для шагового движения к оптимуму. При описании процесса единица масштаба должна охватывать всю область, подлежащую описанию интерполяционным полиномом.

Минимально необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка интерполяционного полинома. Поскольку результаты наблюдений отклика носят случайный характер, приходится в каждой точке плана проводить m параллельных опытов (обычно m = 2 ÷ 4), осреднение результатов которых дает возможность уменьшить погрешность оценки истинного значения отклика в раз. Эксперимент делится на m серий опытов. В каждой серии последовательность опытов рандомизируется, т.е. с помощью таблицы случайных чисел определяется случайная последовательность реализации опытов в каждой серии. Рандомизация: позволяет ослабить или исключить вовсе влияние неконтролируемых случайных или систематических погрешностей на результаты исследования.

Полный факторный эксперимент (ПФЭ). Полным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций равно 2 ^N. Нахождение уравнения регрессии методом ПФЭ состоит из: а) планирования эксперимента; б) собственно эксперимента; в) проверки воспроизводимости (однородности выборочных дисперсий); г) получения уравнения регрессии с проверкой статистической значимости коэффициентов регрессии; д) проверки адекватности уравнения регрессии.

Таблица 12.3

№ точки плана (v)									Отклик
	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	у 1
	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	у 2
	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	у 3
	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	у 4
	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	у 5
	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	у 6
	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	у 7
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	у 8

Условия эксперимента записывают в виде матрицы планирования. Пример матрицы планирования для трех факторов дан в табл. 12.3. Здесь столбцы х ₁, х ₂, х ₃ образуют матрицу плана. Эти столбцы задают планирование – по ним определяются условия опытов. Последующие столбцы матрицы получаются перемножением соответствующих значений факторов х ₁, х ₂, х ₃. В матрицу добавляется еще один столбец – фиктивная переменная х ₀ для расчета свободного члена b ₀ в уравнении регрессии. Значение х ₀ одинаково во всех строчках и равно +1.

Матрицу плана можно представить геометрически (рис. 12.4). Условия проведения опытов соответствуют координатам вершин куба, центром которого является основной уровень, а ребра соответственно параллельны координатным осям, их длина равна. двум интервалам. Номера вершин куба соответствуют номерам точек в матрице планирования.

Рис. 12.4. Геометрическое изображение полного факторного эксперимента 2³

Можно наглядно показать, что точность определения уравнения регрессии с использованием методов ПЭ выше. Иллюстрируем сказанное примером. Пусть требуется найти коэффициенты регрессии b ₀ и b ₁ уравнения y = b ₀ + b ₁ x по двум опытам. При одинаковых погрешностях с увеличением интервала или радиуса области изменения фактора х точность определения коэффициентов регрессии растет. Перенесем этот принцип повышения точности линейного уравнения регрессии на многофакторные процессы. Это можно сделать двумя путями. Первый путь – увеличение интервалов варьирования по каждому фактору (точно так же, как и в однофакторном процессе). Однако в многофакторном пространстве есть еще один принципиально иной путь увеличения радиуса области изменения факторов – путь одновременного варьирования уровней всех факторов без увеличения интервала каждого фактора. Рассмотрим, что это дает при N = 2 (при –1, +1). Опыты, спланированные по методике однофакторного эксперимента, в факторном пространстве, очевидно, будут представлены точками (0, +1), (0, –1), (+ 1, 0), (–1, 0) (рис. 12.5), лежащими на осях x ₁ и x ₂.

Если же изменить значения уровней факторов одновременно,, то точки плана, построенного в соответствии с концепцией многофакторного эксперимента, расположатся в вершинах внешнего квадрата (+1, +1), (–1, +1), (–1, –1), (+1, –1) (рис. 8.5). Ясно, что при этом исследованная область изменения факторов будет больше. Отметим, что этот эффект тем ощутимее, чем больше размерность N факторного пространства. В самом деле, при планировании по методике однофакторного эксперимента опорные точки всегда располагаются на концах хорд длиной 2 единицы, при многофакторном планировании опорные точки располагаются на концах диаметров, длина которых 2, т. е. в раз больше.

При N = 2 построение матриц ПФЭ не вызывает затруднений, при увеличении же числа факторов возникает необходимость в некоторых специальных приемах построения матриц. Рассмотрим два наиболее простых приема. Первый прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце знаки чередуются поочередно, во втором – через 2, в третьем – через 4, в четвертом – через 8, в пятом – через 16 и т.д. по степеням двойки. Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана сначала при значении нового фактора на верхнем уровне, а затем – на нижнем.