Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, значение которых необходимо для понимания сущности средних, а также для упрощения их вычисления.

1. Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин;

Если то

Это правило показывает, в каких случаях можно суммиро­вать средние величины. Если, например, выпускаемые изделия состоят из двух деталей У и Z и на изготовление каждой из них расходуется в среднем У = 3 ч, Z = 5 ч, то средние затраты време­ни на изготовление одного изделия (х) будут равны: 3 + 5 = 8 ч, то есть Х = У + Z.

2. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных зна­чений варьирующего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклоне­ний в другую сторону, то есть

потому что

Это правило показывает, что средняя является равнодейст­вующей.

3. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число а, то средняя уменьшится или увеличится на это же число а:

4. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно уменьшится или увеличится в А раз:

5. Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и то же число d, то средняя не изменится:

Это свойство показывает, что средняя зависит не от размеров весов, а от соотношения между ними. В качестве весов могут вы­ступать не только абсолютные, но и относительные величины.

2.2.2.Средняя гармоническая.

Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид

Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

Например, при расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных товаров. Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных товаров:

Вид товара	Цена за единицу, руб.	Сумма реализаций, руб.
а
б
с

Получаем

Если здесь использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна: