Энергия магнитного поля. Магнитная энергия двух контуров с токами

Магнитная энергия тока. Замкнем неподвижную цепь, содержащую индуктивность L и сопротивление R, на ис­точник тока с эдс E ₀. В контуре нач­нет возрастать ток. Это приводит к появлению эдс само­индукции E _s. Согласно закону Ома RI = E ₀ + E _s, откуда E₀=RI–E_s. Элементарная работя, которую совершают сто­ронние силы (т. е. источник E ₀) за время dt (умножим предыдущее равенство на Idt): E₀Idt=RI²dt–E_sIdt. Учитывая смысл каждого слагаемого и соотношение E_s = = — dФ/dt,: δA_стор=δQ+IdФ. в процессе установления тока, когда поток Ф меняется и dФ>0 (если I>0), работа, которую совер­шает источник E ₀, оказывается больше выделяемой в цепи джоулевой теплоты. Часть этой работы (дополни­тельная работа) совершается против эдс самоиндук­ции. После того как ток установится, dФ = 0 и вся работа источника E₀ будет идти только на выделение джоулевой теплоты.

Дополнительная работа, совершаемая сторон­ними силами против эдс самоиндукции в процессе уста­новления тока: δA^доп=IdФ. Это соотношение справед­ливо и при наличии ферромагнетиков, так как при его вы­воде не вводилось никаких предположений относительно магнитных свойств окружающей среды. Теперь будем считать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда dФ= L dI и δA^доп=LIdI. Проинтегрировав, получим A^доп = LI²/2. По закону сохранения энергии любая работа идет на при­ращение какого-то вида энергии. Часть работы сторонних сил (E₀) идет на увеличение внутренней энергии проводников (с ней связано выделение джоулевой теплоты) и другая часть — в процессе установления то­ка — на маг­нитное поле. Приходим к выводу, что при отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью L, по которому течет ток I, обладает энергией W=½LI²=½IФ=Ф²/2L (1). Эту энергию называют магнитной энергией тока или собственной энергией тока. Она может быть целиком превращена во внутреннюю энергию проводников, если отключить источник E₀.

Энергия магнитного поля. Формула (1) выражает магнитную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Энергию можно выразить непосредственно через магнитную индукцию В. На примере длинного соленоида, пренебрегая краевыми эффектами: L=μμ₀n²V => W=½LI²=½μμ₀n²I²V. А т.к. nI = Н = В/μμ₀, то W=B²V/2μμ₀=BHV/2. (2) Эта формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем V (как в случае с соленоидом). В общем случае(при отсутствии ферромагнетиков) энергию W можно выразить через векторы В и Н по формуле W=½∫BHdV. (3) Магнитная энергия локализована в пространстве, занимаемом магнитным полем. Из формул (2) и (3) следует, что магнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью w=BH/2=½B²/μμ₀.(4) Выражения (3) и (4) относятся лишь к тем средам, для которых зависимость В от Н линейная (к пара- и диамагнетикам, к ферромагнетикам они не применимы).

Магнитная энергия двух контуров с токами. Возьмем два непод­вижных контура 1 и 2, расположив их достаточно близко друг к другу. В каждом контуре есть свой источник постоянной эдс. Замкнем в момент t = 0 каждый из кон­туров. Как в том, так и в другом контуре начнет устанавли­ваться свой ток и, следовательно, появятся эдс самоин­дукции E _s и эдс взаимной индукции E _i. Дополнительная работа, совершаемая при этом источниками постоянной эдс против E _s и E_i, идет на создание магнитной энергии. Найдем эту работу за время dt: δA^доп=–(E_s1+E_i1)I₁dt–(E_s2+E_i2)I₂dt=dW. Преобразуем эту формулу, учитывая, что E _s1=-L₁ dI₁ /dt, E_i1= — L₁₂ dI₂/dt и т. д.: dW =L₁I₁dI₁ + L₁₂I₁dI₂ + L₂I₂dI₂+ L₂₁I₂dI₁.Имея в виду, что

L ₁₂ = L₂₁, представим последнее уравне­ние в виде dW=d (L₁I₁²/2) + d (L ₂I₂²/2) + d (L₁₂I₁I₂), откуда W=½L₁I₁²+½L₂I₂²+L₁₂I₁I₂. Здесь первые два слагаемых называют собственной энергией тока I₁ и тока I₂, последнее слагаемое — взаимной энергией обоих токов. Взаимная энер­гия токов — величина алгебраическая в отличие от собст­венных энергий токов. Изменение направления одного из токов приводит к изменению знака вза­имной энергии.