Неявная разностная схема

Для аппроксимации используем следующий шаблон:

Уравнение аппроксимируется разностной системой:

Запишем равенства в виде, удобном для метода прогонки:

Получим систему:

Используя метод прогонки, получаем решение неявной разностной схемы для данной задачи.Текст функции,вычисляющий матрицу решения размерностью приведён ниже.

diary c:\kursach.txt

diary on

% Вичисление u

%<<<<<<< определение числа разбиений по осям x, t >>>>>>>>>>>>>>>>>>>

M=40;

N=40;

%<<<<<<< определение шагов сетки по оси x или t >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

h=1/M;

t=1/N;

%<<<<<<<<<<< определение рабочих констант >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

u=zeros(M+1,N+1);

h2=h^2;

t2=t^2;

g2=t2/h2;

%<<<<<<<<< заполнение матрицы U(x,t) 1-ым начальным условием >>>>>>>

for i=0:M, u(i+1,1)=1;

end

A=zeros(M+1,1);

C=zeros(M+1,1);

B=A;

A1=A;

F=C;

B1=C;

%<<<<<<<<<<<< этап заполнения матрицы U(x,t) >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

%^^^^^^^^^^(1) Определение прогоночных коэффициентов (1)^^^^^^^^^^^^^^^^^

for i=1:M-1, A(i)=1; B(i+1)=1; C(i+1)=2+h2/t; end;

%^^^^^^(2) Определение граничных прогоночных коэффициентов (2)^^^^^^^^^^^

A(M+1)=0; B(1)=1; C(1)=1+h2/(2*t); C(M+1)=1;

%<<<<<<< определение U(i,j) методом прогонки >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

A1(1)=B(1)/C(1);

for i=2:M,

A1(i)=B(i)/(C(i)-A(i-1)*A1(i-1));

end;

for j=1:N,

F(1)=h2*u(1,j-1)/(2*t)+h2*4;

for i=1:M-1,

F(i+1)=h2*8*exp(h*i*t*j)+h2*u(i,j)/t;

end;

F(M+1)=1+(j*t)^2;

B1(1)=F(1)/C(1);

for i=2:M,

B1(i)=(F(i)+A(i-1)*B1(i-1))/(C(i)-A(i-1)*A1(i-1));

end;

B1(M+1)=(F(M+1)+A(M)*B1(M))/(C(M+1)-A(M)*A1(M));

u(M+1,j+1)=B1(M+1);

for i=M:-1:1,

u(i,j+1)=A1(i)*u(i+1,j+1)+B1(i);

end;

end;

contour(u,40);

pause;

for z=0:10:360

mesh(u,[z 30]);

pause;

end

%<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< The End >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Список литературы

1. Теория разностных схем., Самарский А. А., М., Наука, 1977г.

2. Численные методы., Калиткин Н. Н., М., Наука, 1978г.

3. Численные методы решения разностных уравнений мат физики. Долголаптев В. Г., Земсков В. Н., М., МИЭТ, 1987г.

4. Сборник задач по математике для втузов, т. 4 Методы оптимизации, М., Наука, 1990г.

5. Методическое пособие по выполнению домашних заданий с использованием ЭВМ “Решение уравнений математической физики методом сеток”, М., МИЭТ, 1976г.

6. Методы решения сеточных уравнений., Самарский А. А., Николаев Е. С., М., Наука, 1978г.

7. Прикладные итерационные методы. Хейгеман Л., Янг Л., М., Мир, 1986г.

8. Матрицы и вычисления., Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А., М., Наука, 1984г.