Малая выборка

При проведении выборочного обследования возникает еще одна проблема. Она связана с тем, что, при определении ранее рассмотренных оценок ошибок выборки, предполагалось, что объем выборки будет не менее 100. При этом распределение ошибок выборочной средней будет нормальное или будет приближаться к нормальному распределению по мере увеличения объема выборки, что доказано теоремой А.М. Ляпунова.

Однако на практике, как правило, объем выборки не превышает 30. Такие выборки называются малыми. В этом случае возникает расхождение в оценке вероятности средней ошибки в малой и большой выборках. Это расхождение зависит не только от коэффициента доверия , но и от объема малой выборки . Английский статистик Стьюдент разработал такой коэффициент, который позволял бы учитывать это расхождение ( – коэффициент доверия по Стьюденту).

При проведении малой выборки средняя ошибка выборки

, (7.39)

где – дисперсия выборки,

дисперсия выборки

, (7.40)

тогда предельная ошибка выборки

. (7.41)

где – коэффициент доверия по Стьюденту.

Для нахождения коэффициента доверия по Стьюденту исследователь должен задаться уровнем значимости , который может принимать различные значения: 0,1; 0,05; 0,01 и т.д. Уровень значимости показывает, с какой вероятностью исследователь может ошибиться при оценке средней ошибки выборки. Так, если выбран , то это будет означать, что в пяти случаях из 100 исследователь может ошибиться. Далее определяется доверительная вероятность γ; . Одновременно находится число степеней свободы ; , где – объем малой выборки.

Определив доверительную вероятность и число степеней свободы по таблице, разработанной Стьюдентом, находят коэффициент доверия по Стьюденту. Эта таблица приведена в приложении 3 и может иметь следующий вид:

	γ
0,8	0,9	0,95
и т.д.	3,078 1,886 1,638	6,314 2,920 3,353	12,706 4,303 3,182

Например, если доверительная вероятность γ=0,95, а число степеней свободы , то на пересечении соответствующих столбца и строки найдем коэффициент доверия по Стьюдента; t _γ=4,303.

После нахождения предельной ошибки малой выборки определяем предел, в котором с доверительной вероятностью γ будет находится средняя генеральной совокупности,

. (7.42)

Пример 7.6. Для определения средней выработки среди всех сборщиков в цехе было обследовано 10 сборщиков методом малой выборки. В течение часа каждый из них соответственно собрал узлов 4, 8, 7, 6, 4, 9, 5, 7, 6, 7.

Определим среднее число собранных узлов по малой выборке

узла,

а на ее основе дисперсию

Отсюда средняя ошибка малой выборки

.

Пусть уровень значимости . (его величину выбирает сам исследователь). Тогда доверительная вероятность γ=1– а =1–0,05=0,95. Поскольку объем малой выборки равен 10, постольку число степеней свободы . На основе доверительной вероятности и числа степеней свободы по таблице Стъюдента найдем коэффициент доверия по Стьюдента = 2,306. Это дает возможность найти предельную ошибку малой выборки

.

С вероятностью 0,95 средняя выработка по цеху среди сборщиков будет находится в пределе

или 5узла 7узла.

Контрольные вопросы и задания

1. В чем заключается сущность выборочного и сплошного наблюдений? Какие преимущества выборочного наблюдения перед сплошным?

2. При выборочном наблюдении всегда возникают ошибки. Почему они возникают и как их можно классифицировать?

3. Ошибки выборки: что это такое, как они еще называются и как они определяются?

4. В какой последовательности проводится выборочное наблюдение?

5. Какие задачи можно решать, зная ошибку выборки для относительного альтернативного признака?

6. На каком принципе основан собственно-случайный отбор?

7. Какова разница между повторным и бесповторным отборами? Покажите это на формуле расчета средней ошибки выборки.

8. Как проводится выборка с помощью собственно-случайного отбора? Приведите пример выборки с помощью собственно-случайного отбора.

9. Когда применяется серийный отбор?

10. Что такое малая выборка и как она должна проводиться?

Тема 8. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ