Графо-аналитический метод решения задач оптимизации

Этим методом вручную решаются простые задачи оптимизации. Математические модели в этих задачах не должны быть сложными, т.к. в противном случае требуется много времени для их решения. Для начала рассмотрим однопараметрическую однокритериальную задачу оптимизации.

Постановка задачи: Дан один критерий . Объект (процесс) описан уравнением (уравнениями), включающими один искомый параметр . Имеется система ограничений:

и т.д.

Необходимо найти оптимальное значение параметра , обращающее целевую функцию в максимум или минимум.

Задача решается в два этапа:

1. Построение области допустимых решений (ОДР).

2. Нахождение в пределах ОДР оптимального решения.

При построении ОДР на первом этапе рассматривается система ограничений. Все ограничения должны быть выполнены. Выполнение первого ограничения в приведенной выше постановке задачи оптимизации означает, что искомое значение параметра должно находиться правее , причем, в разрешенный интервал входит (рис.5.1). Выполнение второго ограничения означает, что искомое значение параметра должно находиться в интервале (на отрезке) , следует иметь в виду, что границы интервала в интервал входят.

Рис.5.1. Графическая иллюстрация решения однопараметрической однокритериальной задачи оптимизации

Когда однопараметрическая однокритериальная задача оптимизации решается с применением графо-аналитического метода вручную, то на втором этапе применяют метод перебора. Суть его заключается в следующем. В пределах ОДР через определенный интервал h выбирается ряд значений параметра . В рассматриваемом нами случае ОДР разбита на четыре отрезка, и выбрано пять значений параметра . Для этих значений параметра рассчитываются соответствующие значения целевой функции. Среди них находят минимальное (максимальное) значение. Значение параметра , обращающее целевую функцию в минимум (максимум), является оптимальным. Если в рассматриваемом нами случае стремится к минимуму, то , если к максимуму, то .

При решении практических задач оптимизации всегда следует иметь в виду, какова целевая функция. Это значительно упрощает работу как при решении задач оптимизации вручную с применением графо-аналитического метода, так и при решении таких задач с использованием компьютерных программ. Причем, это относится и к случаю использования готовых программ, и, что особенно важно, к разработке собственных программ.

Рассмотрим, например, следующий частный случай, когда целевая функция линейная (рис.5.2.).

Рис.5.2. Графическая иллюстрация решения однопараметрической однокритериальной задачи оптимизации для случая линейной целевой функции

В данном случае на втором этапе вычисляют значения целевой функции только на границах ОДР. Эти значения сравнивают и выбирают наименьшее или наибольшее. Для примера, приведенного на рис. 5.2, если , то , если , то .

Рассмотрим теперь графо-аналитический метод решения многопараметрической однокритериальной задачи оптимизации. Вручную этим методом реально можно решить максимум двухпараметрическую задачу оптимизации.

Постановка задачи:

Дан один критерий . Объект(процесс) описан уравнением (уравнениями), включающими в себя ряд параметров . Имеется система ограничений:

…

…

…

Требуется определить оптимальное значение ряда параметров , обращающих целевую функцию в максимум или минимум.

Пример. Дан критерий . Требуется найти , и , обращающие в максимум целевую функцию . Ограничения:

Задача решается опять в два этапа:

1. Построение ОДР.

2. Нахождение в пределах ОДР оптимального решения.

Построение ОДР в данной задаче в отличие от задачи однопараметрической заключается в том, что работать нужно в двух направлениях. В итоге в плоскости ОДР будет представлять собой многогранник (рис. 5.3).

Рис.5.3. Графическая иллюстрация решения двухпараметрической однокритериальной задачи оптимизации

Для построения нелинейного ограничения сначала необходимо приравнять левую и правую части неравенства и построить соответствующую кривую.

После этого нужно определить направление допустимости искомых параметров и . Чтобы не ошибиться, для этого можно применить следующий прием. Выберем произвольную точку на плоскости с любой стороны кривой. Например, выберем точку с координатами , т.е. «справа - вверху» от кривой. Вычислим значение левой части неравенства: , следовательно, неравенство выполняется. Это значит, что выбранная точка находится в допустимой области искомых параметров. Т.е. допустимая область искомых параметров находится «справа - вверху» от кривой.

На втором этапе необходимо вычислить значения целевой функции в пределах ОДР. В данном примере искомая точка, определяющая оптимальные значения искомых параметров, находиться на границе ОДР: . Если , то .