Типы условий оптимизации и характер решений в задачах развития ЭЭС. Критерии принятия решений в условиях неопределенности

Хотя, как правило, в задачах развития энергосистем решения приходится принимать в условиях многокритериальности, исследователь всегда стремится упростить постановку задачи, сводя ее к однокритериальной. Для этого случая представляет интерес рассмотреть, как результат решения зависит от свойств исходной информации о внешних условиях развития

Эти условия могут быть представлены следующими вариантами: детерминированно (определенно), вероятностно и неопределенно. В первом случае оптимизируемая функция цели (пусть, например, критерий - это минимум функции цели) может быть записана как функция лишь параметра управления Y (для простоты рассмотрим одномерные параметры X и Y) , что изображается на рис. 2. Параметр внешних условий Х на графике не изображается, т.к. имеет фиксированное значение и не влияет на результаты оптимизации. Как видно из рис. 2, в детерминированных условиях решение единственно.

Во втором случае - вероятностных условий - параметр X может принимать различные значения , однако пусть нам известны вероятности появления этих значений , . Соответствующая картина может быть изображена на рис. 3. При любых заданных внешних условиях оптимизацию можно провести так же, как в предыдущем случае при детерминированных условиях, получив соответственно решения . Однако какое же из решений выбрать?

Для произвольного условно-оптимального решения значение функционала цели будет достигаться с той же вероятностью, с какой будет выполнено условие . Отсюда нетрудно видеть, что ожидаемое значение (или математическое ожидание) функционала цели определяется формулой

. (5)

Очевидно, что оптимальное решение соответствует критерию

, (6)

или, что то же самое,

. (7)

Критерий (5) может оказаться неудобным для использования, если оптимизация для каждого фиксированного значения затруднена. В случае дискретного изменения управляющего параметра Y целесообразно осуществить прямую оптимизацию аналогично описанной выше с использованием всех допустимых значений Y. Если таковыми являются значения , то оптимальное решение определится формулой

. (8)

Соответствующий процесс вычислений можно организовать в форме следующей таблицы (табл. 2).

Таблица 2

Вычисления при оптимизации в вероятностно-определенных условиях

Y			...		...		MF
			...		...
			...		...
			...		...
...	...	...	...	...	...	...	...
			...		...
...	...	...	...	...	...	...	...
			...		...
Критерий оптимальности

В качестве примера оптимизации в вероятностно-определенных условиях можно привести следующий. Пусть - это значения перспективной нагрузки энергосистемы, а - известные вероятности, с которыми реализуются эти значения. Пусть также , - это варианты решений по вводу новой генерирующей мощности, а - значения приведенных затрат, связанных с этим вводом и зависящих также от величины перспективной нагрузки. Оптимальное решение задачи - это выбор такого варианта ввода мощности, которому соответствует минимум ожидаемых приведенных затрат.

Как видно, при вероятностно-определенных условиях оптимальное решение также единственно.

Наиболее распространенным в практике случаем, однако, являются условия неопределенности. Этот случай можно изобразить схемой, представленной в табл. 2 (без второй строки и последнего столбца), но с неизвестными вероятностями наступления тех или иных условий . Например, удается дать прогноз диапазона перспективных нагрузок энергосистемы , но не известно, какое значение нагрузки из этого диапазона будет реализовано.

Значения функционала цели F, получаемые для сопоставляемых вариантов (альтернатив) Y при различных внешних условиях X, образуют так называемую платежную матрицу (выделена в табл. 2 рамкой). Значения функции F при этом можно трактовать как затраты ресурса, которые мы стремимся минимизировать. Рекомендации или правила выбора наилучшего решения в такой ситуации даются теорией принятия решений в условиях неопределенности. Эта теория не позволяет дать однозначный ответ по выбору наилучшего решения. Однако она позволяет выстроить несколько цепей логических рассуждений по обоснованию выбора. Соответственно получаем несколько критериев выбора.

1. Критерий минимаксных затрат (критерий Вальда). Этот критерий основан на следующих рассуждениях. Рассмотрим вариант решения (первая строка платежной матрицы). Поскольку не известно, какое значение параметра внешних условий будет реализовано, будем из осторожности ориентироваться на наиболее неблагоприятный случай, соответствующий . Таким образом мы определим значение функции цели, непревышение которого при выборе варианта будет гарантировано. Аналогично поступим для всех остальных вариантов (см. табл. 3, столбец «»).

Если в качестве критерия оптимальности принять минимальное из всех полученных значений

, (9)

то можно утверждать, что результат является гарантированным в любой самой неблагоприятной ситуации; и если F трактовать как расход ресурса на реализацию проекта, то является тем значением, которое при выборе соответствующей стратегии заведомо не будет превышено, а при благоприятном стечении обстоятельств может оказаться и меньше. Такой гарантии не может дать никакая другая стратегия. Соответствующая стратегия называется минимаксной.

2. Критерий недостаточного основания (критерий Лапласа). Критерий минимакса имеет тот недостаток, что он сориентирован на учет лишь самой неблагоприятной ситуации. Такой критерий имеет безусловное преимущество, если выбор стратегии приходится делать в условиях, когда кто-то (назовем его противником) стремится создать нам такие условия. Соответствующие ситуации могут возникать в антагонистических играх двух лиц (например, картах, военных сражениях). Тогда мы можем рассматривать себя как сторону Y, а сторону X представлять в виде противника, выбирающего против нас ту или иную стратегию так, чтобы наш проигрыш, являющийся одновременно выигрышем для игрока X, был максимальным. Теория, рассматривающая такие ситуации, носит название теории игр.

Таблица 3

Формирование критериев минимакса

и недостаточного основания

Y			...		...		max F
			...		...
			...		...
...	...	...	...	...	...	...	...	...
			...		...
...	...	...	...	...	...	...	...	...
			...		...
Критерий оптимальности

Однако в задачах развития энергетики нельзя представить сторону X как сознательно стремящуюся создать для нас наиболее неблагоприятную обстановку. Значения есть результат нашего недостаточного знания закономерностей природы, а природа может ставить перед нами сложные задачи, но она не злонамеренна. В связи с этим логично при выборе стратегии учитывать не только наиболее неблагоприятные условия, но и любые другие.

Поскольку у нас нет оснований отдать преимущество какому-либо конкретному из условий X, логично считать их равновероятными с вероятностями . Тогда можно применить подход, использованный в табл. 2, что соответствует расчету среднего значения функционала цели по каждой строке . Тогда в качестве критерия необходимо принимать минимальное из рассчитанных значений

. (10)

Соответствующий критерий носит название критерий недостаточного основания (см. последний столбец табл. 3).

Применение критериев минимаксных затрат и недостаточного основания иллюстрируется примером, показанным в табл. 4.

Как следует из табл. 4, в данном случае оба критерия дали одно и то же оптимальное решение.

Таблица 4

Пример применения критериев минимаксных затрат

и недостаточного основания

Y				max F
		12,8	11,5	12,8	11,43
					11,33
			10,5		11,17
		10,5	12,5	12,5	11,33
Значение критерия		11,17
Оптимальное решение

3. Критерий минимаксного риска (критерий Севиджа). Наряду с введенными выше широко используется критерий, основанный на преобразовании платежной матрицы в матрицу риска и последующем применении к ней минимаксного критерия. Логику рассуждений по обоснованию этого критерия рассмотрим на численном примере табл. 4.

Предположим, будут выполнены условия . Найдем варианты, для которых затраты при этих условиях минимальны. В нашем случае это и . Определим перерасход ресурса, который будет иметь место при принятии других вариантов. Для варианта это будет , а для варианта : . Назовем эти величины риском от принятия неверного решения и поместим их на место соответствующих элементов платежной матрицы.

Проводя аналогичные рассуждения для других исходных условий, сформируем матрицу риска R (табл. 5). Применяя к этой матрице минимаксный критерий, получаем два оптимальных решения - и . Одно из них совпадает с оптимальными решениями, полученными путем анализа платежной матрицы.

Таблица 5

Пример применения критерия минимаксного риска

Y				max F
		2,3		2,3
		0,5	2,5	2,5
		0,5
Значение критерия
Оптимальное решение	и

4. Критерий Гурвица. Критерий Вальда, как отмечалось выше, имеет тот недостаток, что ориентируется на наиболее неблагоприятную ситуацию. В этом отношении можно говорить, что принимая решение, ориентированное на этот критерий, мы подходим к оценке ситуации с позиций пессимиста. С учетом высокой тяжести негативных последствий от принятия неверных решений в энергетике применение такого подхода имеет веские основания. Однако определенные основания имеет и взвешенная позиция, заключающаяся в учете также благоприятной ситуации, особенно если принять во внимание, что в задачах развития систем энергетики мы имеем дело не с разумным «противником», стремящимся увеличить наши потери, а с «природой», в результате чего ситуации внешних условий складываются стихийно. Эти рассуждения приводят к критерию оптимальности, взвешенно учитывающему как наиболее, так и наименее благоприятную ситуацию:

, (11)

где a - коэффициент «пессимизма-оптимизма» Гурвица, показывающий, с каким весовым показателем принимается в расчет наиболее неблагоприятная ситуация. Соответственно наиболее благоприятная ситуация принимается во внимание с коэффициентом . Очевидно, что значение коэффициента Гурвица ограничивается диапазоном . В частности, при мы имеем дело с критерием Вальда. В табл. 6 приведен пример применения критерия Гурвица при .

Наиболее трудным является вопрос о выборе величины a. В принципе, это дело лица, принимающего решения (ЛПР). Учитывая большие экономические потери от неверных решений по развитию систем энергетики и их объектов и высокую инерционность инвестиционного комплекса энергетики, можно рекомендовать выбирать значение коэффициента Гурвица в диапазоне .

Наличие нескольких критериев принятия решения в условиях неопределенности может приводить к неопределенности самих оптимальных решений.

Таблица 6

Пример применения критерия Гурвица

Y
		12,8	11,5	11,96
				12,1
			10,5	11,55
		10,5	12,5	11,9
Значение критерия	11,55
Оптимальное решение

Окончательный выбор делает ЛПР, руководствуясь своими соображениями, в том числе, возможно, по принципу «большинства», т.е. в зависимости от того, какой вариант рекомендуется по большинству критериев.