Метод Эйлера

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера.

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M₀(x₀,y₀) равен .

Найдем ординату y₁ касательной, соответствующей абсциссе x₁=x₀+h.

Уравнение касательной к кривой в точке M₀ имеет вид или , откуда y₁=y₀+hf(x₀,y₀).

Аналогично, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M₁(x₁,y₁) равен . Точку M₂(x₂,y₂) получим соответственно

x₂=x₁+h y₂=y₁+hf(x₁,y₁).

Продолжая вычисления по данной схеме, получим формулы Эйлера для приближенного решения задачи Коши с начальными данными (x₀,y₀) на сетке отрезка [ a, b ] с шагом h:

x_i=x_i-1+h y_i=y_i-1+hf(x_i-1,y_i-1). (4)

M4

M3

Графической иллюстрацией приближенного решения является ломаная, соединяющая последовательно точки M₀, M₁, …,M_m, которую называют ломаной Эйлера.

Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством

, (5)

которое можно представить в виде d=Ch, где . Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке x_i Î[ a, b ] производят с помощью приближенного равенства – правила Рунге:

(6)

где P – порядок точности численного метода.

Таким образом, оценка полученного результата по правилу Рунге вынуждает проводить вычисления дважды: с шагом h и h/2, причем совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает основание считать их верными.