Языки и средства описания моделей

Иногда считают, что основным математическим аппаратом, с помощью которого осуществляется моделирование, являются дифференциальные уравнения: обыкновенные и в частных производных. Объясняется это тем, что такие разделы науки, как физика, химия, механика, теория управления техническими системами, связаны в значительной мере с дифференциальными уравнениями, которые выступают в качестве математических схем («моделей») для описания явлений и процессов физической реальности.

Такие уравнения, как правило, являются математическими выражениями законов сохранения вещества и энергии в дифференциальной форме, законов (т.е. моделей!) состояния и движения сплошной среды, процессов протекания химических реакций, массо- и теплопереноса.

Законы сохранения могут быть записаны и в интегральной форме, т.е. не для отдельной материальной частицы, а для всего материального объема. Тогда эти законы выражаются в виде так называемых балансовых соотношений. Под технологическим балансом, например, подразумевают результаты расчетов (выраженные в виде алгебраических уравнений, таблиц или диаграмм), отражающие количество введенных и полученных в производственном (или технологическом) процессе материалов и энергии.

В некоторых случаях вместе с дифференциальными и алгебраическими уравнениями для построения математических моделей используют и интегральные уравнения.

В составе математического описания, основанного на физических закономерностях, можно выделить следующие группы уравнений.

1. Уравнения баланса масс и энергии. Данная группа уравнений характеризует распределение в потоках температуры, составов и т.п. и связанные с ними свойства.

2. Уравнения «элементарных» процессов для локальных элементов потоков. К этой группе относятся описания процессов массо- и теплопереноса, химических реакций и др.

3. Теоретические, полуэмпирические или эмпирические соотношения между различными параметрами процесса.

4. Ограничения на параметры, которые необходимо принимать во внимание при моделировании.

Модели, построенные с использованием этих зависимостей, называют аналитическими.

При отсутствии или очень ограниченном объеме теоретических сведений об объекте модель представляется в виде зависимостей, полученных в результате обработки данных экспериментальных исследований. Такие модели называют вероятностно-статистическими или просто статистическими. Они имеют вид регрессионных соотношений между входными и выходными переменными объекта. Однако в структуре уравнений подобных моделей не отражается сущность физических процессов.

Рассмотрим некоторые примеры.

Предположим, что требуется вычислить конечную концентрацию углерода в сталеплавильной ванне, для этого можно использовать следующее уравнение материального баланса:

где С_к – конечная концентрация углерода, %; С_н – начальная концентрация углерода, %; [ ΔC ] – количество углерода, выгоревшее за рассматриваемый промежуток времени, %; G_i – масса i -й составляющей шихты, содержащей углерод; С_i – концентрация углерода в i -й составляющей шихты; η_О2 – коэффициент использования кислорода, доли; ΣО₂ – суммарное количество кислорода, поступившее из различных источников, % от садки.

Мы имеем дело с объектом статическим, с сосредоточенными параметрами, детерминированным.

В данном случае баланс был составлен для конечного отрезка времени.
Балансовые уравнения можно составлять и для бесконечно малого промежутка времени. В качестве такогопримера можно рассмотреть изменение объема проточной ванны идеального перемешивания. Под идеальным перемешиванием понимается допущение о том, что концентрация вещества в любой момент времени в такой ванне не зависит от координат, т.е. мы имеем объект с сосредоточенными параметрами (такая ванна напоминает школьные задачи о бассейне, в который наливается вода и одновременно вытекает).

Пусть в эту ванну в единицу времени поступает G₁ объемных единиц жидкости (вход) и уходит из нее G₂ единиц (выход). Тогда скорость изменения объема ванны будет равна dW/dt = G₁ – G₂, что представляет собой уравнение мгновенного материального баланса.

Если в ванну поступает раствор, содержащий два не взаимодействующих между собой вещества А и В, концентрации которых на входе равны соответственно С_А1, и С_В1, а на выходе – С_А2 и С_В2, то уравнения материальных балансов для каждого компонента раствора записываются следующим образом:

На более высоком уровне иерархии металлургических процессов рассматривают систему, включающую ряд фаз: металл, шлак, газ, твердые фазы, в которой протекают физические процессы.

Нужно отметить, что мы почти ничего не говорили о допущениях, упрощениях и гипотезах, которые негласно принимали, выбирая дифференциальные уравнения в качестве математических схем различных процессов. Что в этом смысле можно сказать об уравнении теплопроводности, которое принимается в качестве математической схемы процесса нагрева слитков в колодцах

?

Как минимум следующее:

1) принята гипотеза Фурье о бесконечной скорости распространения энергии;

2) слиток является изотропным телом;

3) теплофизические свойства не зависят от температуры.

Или обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее тепловое состояние помещения:

СV

где Т_о – температура ограждающих конструкций, С – теплоемкость воздуха, V – объем помещения, a – коэффициент теплоотдачи.

Но помещение – отнюдь не точка, имеет некоторый объем, температура по которому распределена неравномерно. В нашем уравнении принимается, что в каждой точке объема помещения температура одинакова (воздух в помещении рассматривается как идеально перемешанный). Но ведь этого не может быть! Правильно, не может. Но в противном случае модель вообще можно не построить и не решить задачу. Здесь налицо противоречие между сложностью объекта и ограниченностью наших ресурсов, в том числе и вычислительных.

Математическое описание с использованием физических законов, различных закономерностей, характерных для металлургических процессов можно рассматривать как «модели-заготовки» или своеобразные «объекты-оригиналы», с помощью которых можно строить математические модели конкретных металлургических объектов.

Для моделирования объектов на макроуровне можно предложить следующую схему. Модель такого объекта предполагается состоящей из так называемых компонентных моделей (разработанных на микроуровне) и топологических, т.е. связывающих компонентные модели и модель более высокого уровня. Предполагается, что компонентные модели могут быть получены для каждого «элемента» изучаемого объекта один раз. Связь между моделями элементов каждого конкретного объекта устанавливается с помощью топологических уравнений, процедура получения которых для каждого объекта различна, так как различны структуры объектов.

Если компонентные модели базируются на определенных законах в каждой предметной области, между которыми имеются глубокие аналогии, то топологические уравнения различных физических подсистем базируются на уравнениях равновесия и уравнениях неразрывности (т.е. на законах сохранения).

Такая методология, на первый взгляд, несколько искусственная, очевидно, может дать хорошие результаты и при моделировании металлургических объектов.

До сих пор мы рассматривали непрерывные объекты, однако во многих случаях объекты являются дискретными, т.е. имеют дискретные входы и выходы. Математическими схемами для модельного описания таких объектов служат так называемые автоматы.

Автомат можно представить как некоторое устройство (черный ящик), на которое подаются дискретные входные воздействия (сигналы) и с которого снимаются дискретные выходные, и оно может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется такой автомат, у которого множества входных сигналов, состояний и выходных сигналов являются конечными множествами.

Абстрактно конечный автомат представляет собой математическую схему, характеризующуюся шестью элементами: конечным множеством Х входных сигналов (входным алфавитом); конечным множеством выходных сигналов У (выходным алфавитом); конечным множеством Z внутренних состояний (алфавитом состояний); начальным состоянием z₀; функцией переходов φ(x, z); функцией выходов f(y, z).

Такой автомат имеет 1 вход и 1 выход и функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного, выходного сигналов и внутреннего состояния.

Примером абстрактного конечного дискретного автомата являются автоматы для продажи билетов. Например, автомат принимает монеты достоинством х_i =1, 2, 3, 5 (входной алфавит); имеет множество внутренних состояний z_j =0,1, 2, 3, 4 (алфавит состояния), зависящих от числа опущенных монет, и имеет множество выходов y_k =0, 1, где 0 – билет не выдается, 1 – билет выдается.

Функция переходов имеет вид

z(t) =5∙ mod [ z(t-1)+x(t) ],

а функция выходов

y(t) = .

Конечные автоматы как математические схемы могут быть использованы для моделирования объектов, характеризующихся наличием дискретных состояний, где случайностью можно пренебречь.

Обобщением дискретных детерминированных автоматов являются так называемые вероятностные (стохастические) автоматы. Для такого автомата состояние z(t-1) и входной сигнал x(t) определяют не конкретное состояние z(t), а распределение вероятностей P_ij перехода автомата из состояния z_i = z(t-1) в одно из возможных состояний z_j(t) в момент времени t под действием входного сигнала x(t).

С помощью вероятностных автоматов можно моделировать работу участков цехов, технологических линий во многих разновидностях металлургического производства. Основным методом аналитических расчетов при использовании вероятностных автоматов в качестве математических схем является аппарат так называемых «марковских цепей».