Идентификация (определение) закона распределения результатов измерений

В нашем случае, термин идентификация подразумевает процедуру проверки гипотезы о соответствии (согласованности) предполагаемого закона распределения полученному ряду равнозначных измерений.

При достаточном количестве измерений (n >30) эту согласованность количественно оценивают путем сравнения гистограммы плотности распределения, полученной из экспериментальных данных, с аналогичной теоретической зависимостью предполагаемого закона, числовые параметры которого находят из тех же данных.

Для построения гистограммы:

1) Результаты измерений Х_1, Х₂, …, Х_n располагают в порядке возрастания - в вариационный ряд Х_min, …, Х_max.

2) Диапазон результатов от Х_min до Х_max разбивается на определенное число интервалов m<<n с шириной каждого ј- го интервала d_ј=X_ј-X_ј-1 (Обычно интервалы выбирают одинаковой ширины d, за исключением случаев, когда результаты X_i располагаются в диапазоне Х_min … Х_max крайне неравномерно. В этом случае в области их наиболее плотного скопления приходится сужать интервал d_ј и наоборот.

3) Вычисляются количество n_ј и вероятность P_j попаданий X_i в каждый ј- й интервал:

(1)

4) Оценивается плотность распределения в каждом интервале

(2)

5) Строится соответствующая ступенчатая гистограмма (рис.1).

Рис.1

Далее по виду гистограммы делают предположение (выдвигают гипотезу) о законе распределения случайной погрешности с теоретической плотностью распределения p'(x) (рис.1, пунктир). При этом в качестве числовых параметров этой зависимости используются данные, ранее полученные при стат. обработке ряда Х_1, Х₂, …, Х_{n ,} т.е. и σ'.

Теперь следует проверить правильность сделанного предположения – проверить гипотезу о законе распределения. Для этого разработаны специальные статистические критерии согласия экспериментальных данных с гипотетической теоретической зависимостью. Наиболее широко используется критерий χ² Пирсона, при котором рекомендуется иметь n ≥50. Критерий основан на вычислении количественного показателя Z, характеризующего степень расхождения вероятностей, полученных из экспериментальных данных и теоретической гипотетической зависимости:

(3)

где (4)

На практике, чтобы при расчете критерия (3) не иметь дело с дробными значениями P_j и , удобнее использовать количество попаданий n_j и n'_j:

; где (5)

Пирсон показал, что если гипотеза согласуется с результатом измерений, то показатель Z, независимо от выбранного гипотетического закона, имеет распределение χ², т.е. Z = χ² (рис.2). Число степеней свободы такого распределения ν=m-1-r, где r – число параметров, входящих в гипотетическую зависимость (Например, нормальный закон имеет 2 таких параметра m_x и σ). Отсюда следует, что, если гипотеза согласуется, т.е. не противоречит опытным данным, то численное значение Z с достаточно большой доверительной вероятностью P_Г не будет превышать граничное значение доверительного интервала χ² (рис.2). Очевидно, что

(6)

Таким образом, критерий Пирсона состоит в том, что гипотеза принимается при условии

при заданном Р_Г (или q) (7)

При гипотеза отвергается, как противоречащая опытным данным. При этом имеется некоторая малая вероятность q ошибки (1-го рода) – отвергнуть правильную гипотезу, поскольку с вероятностью q . Следовательно, величина определяет уровень значимости ошибки 1-го рода. Эту значимость можно уменьшать, увеличивая Р_Г и, соответственно . Но при этом увеличивается вероятность совершения ошибки второго рода, когда будет принята неверная гипотеза. По этой причине не рекомендуется выбирать или даже 0,02. Значение для различных и приводятся в таблицах.

Для проверки гипотезы о нормальном законе распределения (при ) используют составной критерий (можно ознакомиться в учебнике под ред. Нефедова В. И., 2003)

Выявление и исключение систематической погрешности Θ

Как известно результат измерения, .

Но случайная погрешность ε на практике обычно существенно меньше систематической и тогда

(8)

В случаях, когда Θ может быть соизмерима с ε, последнюю можно уменьшить, используя n -кратное измерение, при котором граничное значение ε_Г будет уменьшено в раз. Выбирая походящее n, можно добиться, чтобы <<Θ. Тогда опять результат измерения можно представить в виде . Поскольку условие малости ε в сравнении с Θ так или иначе можно выполнить, для упрощения обозначений будем считать, что выполняется условие (8) и значит

(9)

Для исключения систематической погрешности нужно из результата измерения Х' вычесть Θ

(10)

Но для упрощения процедуры исключения стандарт рекомендует использовать операции суммирования или умножения, используя, соответственно, поправку, равную (-Θ), или поправочный множитель α _Θ:

(11)

где . Поправка или поправочный коэффициент могут быть представлены в виде графика (рис.3), таблицы или формулы.

Выявление и исключение Θ могут выполняться: теоретически или экспериментально; до, в процессе или после измерения; автоматически или вручную.

Теоретическое выявление Θ возможно в сравнительно редких простых случаях. Например, при выявлении методической погрешности, возникающей при измерении напряжения U из-за конечного значения сопротивления R_v вольтметра V (рис.4).

Очевидно, что измеренное значение будет отличаться от измеряемого U. При этом

(12)

С учетом R_v>>R_i (если это условие не соблюдается, погрешность будет слишком большой и измерение вообще недостоверно):

Соответственно, поправочный коэффициент

Очевидно, что при погрешность Θ=0, а . Если же, например, =50 , то относительная погрешность составит 2 %.

Отметим, что в приведенном примере для исключения погрешностей необходимо пользоваться поправочным множителем, а не поправкой (-Θ), в которую входит неизвестное (истинное) значение U.

Экспериментальное выявление систематической погрешности может

выполняться несколькими способами.

1. Использование образцовых средств измерения, систематическая погрешность которых заведомо значительно меньше определяемой систематической погрешности . Тогда, считая, что можно оценить .

2. Рандомизация систематической погрешности — перевод систематических погрешностей в разряд случайных. Например, проводить измерение измеряемой величины несколькими приборами, у которых будут различаться случайным образом. Тогда можно найти среднее значение измеряемой величины

(13)

и тем самым снизить систематическую погрешность .(n – число приборов)