Тема 6. Модели оптимального портфеля инвестиций

Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает:

1) максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска;

2) минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

Набор портфелей, удовлетворяющий этим двум условиям, называется эффективным множеством. Причем особую важность имеют портфели, находящиеся на границе этого множества.

Для измерения риска, связанного с отдельной ценной бумагой, достаточно таких показателей, как вариация или стандартное отклонение (стандартная девиация). Но в случае портфеля мы должны принимать во внимание их взаимный риск, или ковариацию. Ковариация служит для измерения двух основных характеристик:

1) вариации доходов по различным ценным бумагам, входящих в портфель;

2) тенденции доходов этих ценных бумаг, которые могут изменяться в одном или в разных направлениях.

В общем виде формула для расчета ковариации будет выглядеть следующим образом:

COV_xy = ,

где COV_xy – ковариация между акцией x и акцией y;

k_x – норма дохода по акции x;

k_y – норма дохода по акции y;

- ожидаемая норма дохода по акции x;

- ожидаемая норма дохода по акции y;

n – число вариантов (наблюдений);

p_i – вероятность наступления i-го варианта.

Другим показателем, используемым для анализа портфеля ценных бумаг, является коэффициент корреляции. Напомним, что корреляцией называется тенденция двух переменных менять свои значения взаимосвязанным образом. Эта тенденция измеряется коэффициентом корреляции r, который может варьироваться от +1,0 (когда значения двух переменных изменяются абсолютно синхронно, т.е. изменяются в одном и том же направлении) до -1,0 (когда значения переменных изменяются в точно противоположных направлениях). Нулевой коэффициент корреляции показывает, что изменение одной переменной не зависит от изменения другой.

Коэффициент корреляции (r_xy) определяется следующим образом:

r_xy = ,

где - стандартное отклонение доходности ценной бумаги.

Эффективная диверсификация по Марковицу предусматривает объединение ценных бумаг с коэффициентом корреляции менее единицы без существенного снижения доходности по портфелю. В общем, чем ниже коэффициент корреляции ценных бумаг, входящих в портфель, тем менее рискованным будет портфель. Это справедливо независимо от того, насколько рискованными являются эти ценные бумаги, взятые в отдельности, т.е. недостаточно инвестировать просто в как можно большее количество ценных бумаг, нужно уметь правильно выбирать эти ценные бумаги.

Поскольку специфический риск достаточно легко можно устранить диверсификацией портфеля, то с точки зрения рынка он не является необходимым. А раз так, то рынок «не вознаграждает» инвестора за этот риск; вознаграждение за риск зависит только от систематического риска.

Для измерения величины систематического риска существует специальный показатель – коэффициент . Он характеризует неустойчивость (изменчивость) дохода отдельной ценной бумаги или другого финансового инструмента относительно доходности рыночного портфеля. -коэффициент можно рассчитать, используя следующую формулу:

= ,

где r_x – корреляция между доходностью ценной бумаги x и средним уровнем доходности ценных бумаг на рынке;

- стандартное отклонение доходности по конкретной ценной бумаге;

- стандартное отклонение доходности по рынку ценных бумаг в целом.

Уровень риска отдельных ценных бумаг определяется на основе таких значений:

= 1 – средний уровень риска;

> 1 – средний уровень риска;

< 1 – средний уровень риска.

По портфелю рассчитывается как средневзвешенный -коэффициент отдельных видов входящих в портфель инвестиций, где в качестве веса берется их удельный вес в портфеле.

Задача 1. Инвестиционная компания может предложить своим клиентам в качестве объектов инвестирования следующие активы.

Сформируйте разные варианты инвестиционных портфелей:

- портфель ценных бумаг;

- портфель прочих инвестиционных объектов;

- смешанный;

- портфель дохода;

- портфель роста;

- сбалансированный (назвать приоритетные цели инвестирования), несбалансированный и разбалансированный портфели (исходя из одних и тех же приоритетных целей).

Задача 2. Инвестиционный портфель предприятия состоит из следующих активов, которые обеспечивают указанную годовую доходность.

1. Определите норму дохода в целом по портфелю. Какой актив следует предпочесть инвестору, чтобы обеспечить максимальную доходность по портфелю?

2. Определите доходность по инвестиционному портфелю, если спустя один год инвестор планирует продать акции и разделить вырученные средства поровну между оставшимися объектами.

Задача 3. Инвестор предполагает 20% средств инвестировать в актив 1; 25% - в актив 2; оставшуюся сумму – в актив 3. Ожидаемая норма дохода по активу 1-10% в год; по активу 2-18; по активу 3-15%.

Определите ожидаемую норму дохода по портфелю инвестора.

Задача 4. Страховая компания выбирает для инвестирования следующие объекты.

Определите минимальную норму доходности и уровень риска ( -коэффициент) по активу 3, если инвестор заинтересован в достижении общей доходности портфеля на уровне не менее 16% годовых, а -коэффициент не должен превышать 1,2.

Объекты инвестирования	Предполагаемая доля в портфеле	Доходность, %	Риск ()
	0,3		1,2
	0,1		1,4
	0,2	?	?
	0,4		0,8

Задача 5. В акции Y, норма доходности которых 15,5% ( -коэффициент равен 1,2), инвестировано 35% средств; оставшаяся сумма размещена в акции Х. Общая норма дохода по инвестиционному портфелю – 16%, по портфелю – 1,55.

Определите доходность и коэффициент по акциям Х. Охарактеризуйте акции Х с точки зрения взаимосвязи дохода и риска.

Задача 6. Портфель ценных бумаг коммерческого банка состоит из акций следующих компаний-эмитентов.

Эмитент	Объем инвестиций, млн. руб.	-коэффициент
Электроэнергетическая компания		1,8
Нефтяная компания		1,4
Кондитерское объединение		0,9
Телекомпания		1,1
Металлургическое предприятие		1,4
Фармацевтический концерн		1,6

Рассчитайте -коэффициент по предложенному варианту портфеля и оцените риск портфеля.

Задача 7. Инвестор сформировал следующий портфель вложений.

Эмитент	Удельный вес в портфеле, %	-коэффициент
		0,8
		1,0
		0,9
		1,4
		1,8

1. Определите -коэффициент по портфелю.

2. Определите риск инвестиционного портфеля при условии, что через некоторое время инвестор решил изменить структуру портфеля и распределить имеющиеся средства поровну между входящими в портфель активами.

3. Сравните оба варианта инвестиционного портфеля с точки зрения рисковости вложений и выясните, какой вариант является наиболее предпочтительным, если инвестор стремится:

- минимизировать риск;

- максимизировать доход.

Задача 8. Инвестиционный портфель частного инвестора состоит из акций четырех компаний-эмитентов, в которые сделаны одинаковые инвестиции. Норма доходности инвестиционного портфеля – 15%, по акциям А – 18%. Инвестор продает акции А и приобретает акции Б.

1. Определите норму доходности приобретаемых акций, чтобы норма доходности по портфелю увеличилась до 17%?

2. Сделайте вывод о предпочтительности вариантов инвестиционного портфеля в зависимости от нацеленности инвестора:

- на максимизацию доходности;

- на минимизацию риска.

Задача 9. В акции А, ожидаемая доходность которых 15,4% ( =1,4%), инвестировано 40% средств; оставшаяся сумма размещена в акции Б. Общая норма дохода по портфелю – 14,8%, общий -коэффициент по портфелю – 1,2.

1. Определите норму дохода и -коэффициент по акциям Б.

2. Охарактеризуйте акции Б с точки зрения соотношения доходности и риска.

Задача 10. Доходность двух компаний характеризуется следующими данными.

(%)

Рассчитайте ковариацию по акциям этих компаний.

Задача 11. Доходность ценных бумаг эмитентов характеризуется следующими данными.

(%)

Рассчитайте показатель ковариации по акциям этих эмитентов и сделайте вывод о рискованности вложений.