Двухвыборочный z-тест для средних

Режим работы «Двухвыборочный z -тест для средних» служит для проверки гипотезы о различии между средними (математическими ожиданиями) двух нормальных распределений с известными дисперсиями.

В диалоговом окне данного режима (рисунок 1) задаются следующие параметры:

- интервал переменной 1 - вводится ссылка на ячейки, содержащие результаты наблюдений величины X. Диапазон данных должен состоять из одного столбца или одной строки;

- интервал переменной 2 - вводится ссылка на ячейки, содержащие результаты наблюдений величины Y. Диапазон данных должен состоять из одного столбца или одной строки;

- гипотетическая средняя разность - вводится число, равное предполагаемой разности средних (математических ожиданий) изучаемых генеральных совокупностей. Значение 0 указывает на то, что проверяется гипотеза Н ₀: a_x=а_y;

- дисперсия переметной 1 (известная) - вводится известное значение дисперсии генеральной совокупности величины X;

- дисперсия переменной 2 (известная) - вводится известное значение дисперсии генеральной совокупности величины Y;

- метки;

- альфа - вводится уровень значимости a, равный вероятности возникновения ошибки первого рода (отвержение нулевой гипотезы);

- выходной интервал/Новый рабочий лист/Новая рабочая книга/

Рисунок 1 - Диалоговое окно режима «Двухвыборочный z-тест для средних»

Пример 1. Выборочные данныео диаметре валиков (мм), изготовленных автоматом 1 и автоматом 2, приведены в таблице, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel (таблица 1).

Таблица 1 - Выборочные данные

	С	D	E
	N п/п	Автомат 1	Автомат 2
		182,30	185,30
		183,00	185,60
		181,80	184,80
		181,40	186,20
		181,80	185,80
		181,60	184,00
		183,20	184,20
		182,40	185,20
		182,50	184,20
		179,70
		179,90
		181,90
		182,80
		183,40
	Среднее	182,00	185,00

По выборке объема n = 14 найден средний размер = 182,0 мм диаметра валиков, изготовленных автоматом 1 (ячейка D38 содержит формулу =CP3HAЧ(D24:D37)). По выборке объема m =9 найден средний размер =185,0 мм диаметра валиков, изготовленных автоматом 2 (ячейка E38 содержит формулу =СРЗНАЧ(Е24:Е32)).

Кроме того, предварительным анализом установлено, что размер диаметра валиков, изготовленных каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения с дисперсией s _х² = 5 мм² для автомата 1 и s _у² = 7мм² для автомата 2. Можно ли при уровне значимости a = 0,05 объяснить различие выборочных средних случайной величиной? Или, иными словами, при уровне значимости a = 0,05 требуется проверить гипотезу H₀:a_x = a_y.

Для решения задачи используем режим работы «Двухвыборочный z -тест для средних». Значения параметров, установленных в одноименном диалоговом окне, представлены на рисунке 2,а рассчитанные в данном режиме показатели - в таблице 2.

Рисунок 2 - Диалоговое окно режима с заданными параметрами

Таблица 2 - Результаты расчета для режима «Двухвыборочный z -тест для средних»

		С	D	E
	Двухвыборочный z-тест для средних
			Автомат 1	Автомат 2
		Среднее	181,98	185,03
		Известная дисперсия
		Наблюдения
		Гипотетическая разность средних
		z	-2,867
		P(Z<=z) одностороннее	0,002
		z критическое одностороннее	1,645
		P(Z<=z) двухстороннее	0,004
		Z критическое двухстороннее	1,960

Так как значение z_p попадает в критическую область (| z_p |>| z_кр |; 2,867 > 1,96), то гипотеза H₀:a_x = a_y отвергается, т.е. считаем, что различие выборочных средних неслучайно.

Дадим более подробное пояснение проведенным расчетам, на основании которых и строился сформулированный вывод.

Так как нулевая гипотеза имеет вид H₀: a_x = a_y, то альтернативная ей гипотеза будет иметь соответственно вид H₁: a_x = a_y т.е. включать в себя два условия: а_х<a_y и а_х>a_y. В этом случае критическая область будет определяться двумя интервалами

(-¥; ) и (;+¥), где критические точки и определяются из условий и , которые с учетом равенства z_кр = N (0,1)запишем в следующем виде: и .

По данной схеме находятся критические точки = -1,96 и = 1,96 (показатель z критическое двустороннее в таблице 2), задающие критическую область (-¥; -1,96)È(1,96; +¥). Модуль значений критических точек рассчитывается по формуле =НОРМСТОБР(1-0,05/2) в ячейке D52.

Расчетное значение критерия z_p вычисляется в ячейке D48 по формуле =(D44-Е44)/КОРЕНЬ(D45/D46+Е45/Е46), где в ячейках D44 и Е44 рассчитываются средние значения выборок с помощью функции СРЗНАЧ; в ячейках D45 и Е45 содержатся значения дисперсий, установленные в диалоговом окне Двухвыборочный z -тест для средних; в ячейках D46 и Е46 рассчитываются объемы выборок с помощью функции СЧЕТ.

Расчетное значение критерия z_p= -2,867 попадает в критический интервал (-¥; -1,96), поэтому нулевая гипотезе H₀:a_x = a_y отвергается на уровне значимости a = 0,05.

Статистические функции, связанные с режимом «Двухвыборочный z-тест для средних»

Функция ZTECT -рассчитывает для определенного выборочного массива данных двустороннее р-значение z-mecma.

ZTECT (массив; х; сигма).

Здесь:

- массив: массив данных, с которыми сравнивается х;

- х: проверяемое значение;

- сигма: известное стандартное отклонение генеральной совокупности. Если этот аргумент опущен, то используется оценка генерального стандартного отклонения по выборке.

Замечания:

- • если массив пуст, то функция ZTECT помещает в ячейку значение ошибки #Н/Д.

Функция ZTECT служит для проверки гипотезы о числовом значении средней (математического ожидания) нормального распределения при известной дисперсии.

Заметим, если числовое значение стандартного отклонения генеральной совокупности не известно, то в функции используется оценка стандартного отклонения по представленной выборке.

Рассматривается случайная величина X=N(a, s), причем числовое значение математического ожидания а не известно, а числовое значение дисперсии s ² известно.

Выдвигается гипотеза H₀ о том, что среднее (математическое ожидание) равно числу а ₀, т. е. H ₀: а = а₀. В этом случае альтернативная гипотеза будет иметь вид H ₁: а ¹ а₀.

В качестве критерия проверки гипотезы берется величина:

, (1)

которая при выполнении гипотезы подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Пример 2. Результаты девяти выборочных замеров времени изготовления детали (мин) приведены в таблице 3, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel.

Таблица 3 - Исходные данные

	F	G
	Номер замера	Время изготовления, мин

Предполагается, что время изготовления - нормально распределенная случайная величина. На уровне значимости a = 0,05 требуется решить:

1) можно ли принять 50 мин в качестве нормативного времени (математического ожидания) изготовления детали?

2) можно ли принять за норматив 49 мин?

Для варианта 1 проверяется статистическая гипотеза Н₀: а_х = = 50 мин, а для варианта 2 - гипотеза Н₀: а_х = 49 мин.

Расчетные показатели для проверки выдвинутых гипотез приведены в таблице 4.

Таблица 4 - Расчетные показатели

	F	G
	Номер замера	Время изготовления, мин
	Среднее
	Оценка стандартного отклонения	2,4
	z критические двусторонние	-1,96
	z расчетное (ах = 50)	-2,5
	z расчетное (ах = 49)	-1.25
	z расчетное (ах = 50) с помощью функции ZTEST	-2,5
	z расчетное (ах = 49) с помощью функции ZTEST	-1,25

Содержимое ячеек в таблице 4:

- массив G24:G32 содержит исходные данные задачи;

- ячейка G33 содержит формулу =CP3HAЧ(G24:G32) - рассчитывается среднее значение выборки;

- ячейка G34 содержит формулу =CTAHДOTKJIOH(G24:G32) - оценивается стандартное отклонение по выборке;

- ячейка G36 содержит формулу =НОРМСТОБР(0,05/2) - вычисляются критические точки и тем самым задается критическая область (-¥; -1,96) È (1,96; +¥);

- ячейки G37 и G38 содержат соответственно формулы (G33 - 50)/G34∙3 и =(G33-49)/G34∙3, которые вычисляют расчетные значения
z -критерия для гипотез Н₀: а_х= 50 мин и Н₀: а_х= 49 мин (здесь , п = 9 - объем выборки);

- ячейки G40 и G41 содержат соответственно формулы =HOPMCTOБP(1-ZTECT(G24:G32;50)) и

=НОРМСТОБР(1-ZTECT(G24:G32;50)), которые вычисляют расчетный значения z -критерия с использованием функции ZTЕСТ, рассчитывающей вероятностные значения z -теста.

Заметим, чтов постановке задачи не приведена информация о значении генерального стандартного отклонения, поэтому использовалась оценка генерального стандартного отклонения по предоставленной выборке.

При проверке гипотезы Н₀: а_х = 50 мин расчетное значение критерия z_p = -2,50 попадает в критический интервал (-¥; -1,96), поэтому данная гипотеза отвергается, а принимается альтернативная гипотеза Н₁: а_х = 48 мин (среднее значение, вычисленное по представленной выборке). Или, иначеговоря, 50 мин нельзя считать нормативным временем изготовления детали, и за норматив берется время 48 мин.

При проверке гипотезы Н₀: а_х = 49 мин расчетное значение критерия z_p = -2,50 не попадает в критическую область (-¥; -1,96) È (1,96; +¥), поэтому данная гипотеза не отвергается, т.е. за норматив времени изготовления детали выбирают 49 мин.

Заметим, что функция ZTECT аналогична функции НОРМРАСП при условии, что в качестве аргумента s используется аргумент m,выражающий стандартное отклонение выборочной средней от генеральной средней и получивший название средней ошибки выборки.

Зная, что

, (2)

можно вывести формулу

. (3)

1.2 Двухвыборочный t -тест с одинаковыми и различными дисперсиями

Режимы работы «Двухвыборочный t -тест с одинаковыми дисперсиями» (гомоскедастический тест) и «Двухвыборочный t -тест с различными дисперсиями» (гетероскедастический тест) служат для проверки гипотез о различии между средними (математическими ожиданиями) двух нормальных распределений соответственно с неизвестными, но равными дисперсиями (s²_X = s²_Y) и с неизвестными дисперсиями, равенство которых не предполагается (s²_X ¹ s²_Y).

В диалоговых окнах данных режимов (рисунки 3 и 4) задаются параметры, аналогичные параметрам, задаваемым в диалоговом окне Двухвыборочный z -тест для средних (рисунок 1), только отсутствуют поля Дисперсия переменной 1 (известная) и Дисперсия переменной 2 (известная).

Рисунок 3 - Диалоговое окно «Двухвыборочный t -тест с одинаковыми дисперсиями»

Рисунок 4 - Диалоговое окно «Двухвыборочный t -тест с различными дисперсиями»

Пример 3. Выборочные данные о расходе сырья при производстве продукции по старой и новой технологиям приведены в таблице 5, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel.

При уровне значимости a = 0,05 требуется проверить гипотезу H ₀: a _X = a _Y, предположив, что соответствующие генеральные cовокупности X и Y имеют нормальные распределения:

1) с одинаковыми дисперсиями s²_X = s²_Y;

2) с различными дисперсиями s²_X ¹s²_Y;

Для проверки предположения 1 используем режим работы «Двухвыборочный t -тест с одинаковыми дисперсиями», а для проверки предположения 2 - «Двухвыборочный t -тест с различными дисперсиями». Значения параметров, установленных в одноименных диалоговых окнах, представлены на рисунках 5 и 6, а рассчитанные в этих режимах показатели - в таблицах 6 и 7 соответственно.

Таблица 5 - Исходные данные

	C	D	E
	Номер изделия	Новая технология	Старая технология

Рисунок 5 - Диалоговое окно «Двухвыборочный t -тест с одинаковыми дисперсиями» с заданными параметрами

Таблица 6 - Результаты расчета для режима «Двухвыборочный t -тест с одинаковыми дисперсиями»

	C	D	E
	Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями
		Новая технология	Старая технология
	Среднее	304,77	307,11
	Дисперсия	2,19	1,61
	Наблюдения
	Объединенная дисперсия	1,96
	Гипотетическая разность средних
	df
	t-статистика	-3,86
	P(T<=t) одностороннее	0,0005
	t критическое одностороннее	1,72
	P(T<=t) двухстороннее	0,0010
	t критическое двухстороннее	2,09

Рисунок 6 - Диалоговое окно «Двухвыборочный t -тест с различными дисперсиями» с заданными параметрами

Для предположения 1 величина t _р = -3,86, а критическая область образуется интервалами (-¥; -2,09)È(2,09; +¥). Для предположения 2 величина t _р = -3,97, а критическая область образуется интервалами (-¥; -2,09)È (2,09; +¥). Так как величина t_p в обоих случаях попадает в критический интервал (-¥; -2,09), то гипотезу H ₀: a _X = a _Y, отвергаем, т.е. при переходе на новую технологию происходит изменение среднего расхода сырья на одно изделие. При этом, конечно, следует иметь в виду, что данное заключение может оказаться ошибочным (на самом деле а_X = а_Y), т. е. имеет место ошибка первого рода, вероятность которой равна a = 0,05.

Таблица 7 - Результаты расчета для режима «Двухвыборочный t -тест с различными дисперсиями»

	C	D	E
	Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями
		Новая технология	Старая технология
	Среднее	304,77	307,11
	Дисперсия	2,19	1,61
	Наблюдения
	Гипотетическая разность средних
	df
	t-статистика	-3,97
	P(T<=t) одностороннее	0,0004
	t критическое одностороннее	1,73
	P(T<=t) двухстороннее	0,0008
	t критическое двухстороннее	2,093

Заметим, что и в первом, и во втором случае получены результаты, несущественно отличающиеся друг от друга (в первом случае t _р = -3,86, во втором случае t _р = -3,97). Данное обстоятельство еще раз подтверждает, что для проверки гипотезы Н₀: а_X= a_Y при предположении s²_X ¹s²_Y можно пользоваться и критерием

особенно в тех случаях, когда предполагается, что s²_X иs²_Y различаются незначительно.

Рассмотрим более подробно механизм расчетов основных показателей, представленных в таблицах 6 и 7.

В первом случае (таблица 6) расчетное значение критерия t_p вычисляется в ячейке D42 по формуле:

=(D36-E36)/KOPEHЬ(D39)/KOPEHЬ(l/D38+l/E38),

где в ячейках D36 и Е36 рассчитываются средние значения выборок с помощью функции СРЗНАЧ;

в ячейках D38 и Е38 определяются объемы выборок с помощью функции СЧЕТ;

в ячейке D39 вычисляется оценка объединенной дисперсии, рассчитываемая, в свою очередь, по формуле =(D37∙(D38-1)+E37∙ (E38-1))/((D38-1)+(E38-1)), где в ячейках D37 и Е37 вычисляются оценки дисперсий с помощью функции ДИСП.

Число степеней свободы (показатель df) рассчитывается в ячейке D41 по формуле =D38+E38-2, а модуль значения критических точек (показатель t критическое двустороннее) вычисляется в ячейке D46 по формуле =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;D41).

Во втором случае (таблица 7) расчетное значение критерия t _р вычисляется в ячейке D57 по формуле =(D52-E52)/KOPEHЬ(D53/D54+E53/E54), где в ячейках D52 и Е52 рассчитываются средние значения выборок с помощью функции СРЗНАЧ;

в ячейках D53 и Е53 вычисляются оценки дисперсий с помощью функции ДИСП;

в ячейках D54 и Е54 определяются объемы выборок с помощью функции СЧЕТ.

Число степеней свободы (показатель df) рассчитывается в ячейке D56 по формуле =((D53/D54+E53/E54)^2)/((D53/D54)^2/(D54-
-1)+(Е53/Е54)^2/(Е54-1)), после чего оно округляется до целого числа с помощью функции ОКРУГЛ (здесь k = 18,96, после округления которого показатель df = 19).

Модуль значения критических точек (показатель t критическое двустороннее) рассчитывается в ячейке D61 по формуле =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;D56).