D – разбиение в плоскости двух параметров

Пусть коэффициенты характеристического уравнения линейно зависят от двух параметров m и l так, что его можно записать в виде

(6.3.7)

После замены s=jw получим

Так как равенство нулю всего преобразованного характеристического уравнения может выполняться только, если одновременно равны нулю его вещественная и мнимая части, то получим систему уравнений относительно изменяемых параметров

(6.3.8)

Разрешив систему (6.3.8) относительно m и l, получим

где

Задавая значения частоты от -¥ до +¥, определим совокупность точек на плоскости m - l, образующих кривую D – разбиения. Функции m(w) и l(w) являются четными, и поэтому, при изменении частоты в указанных выше пределах, кривая D – разбиения пробегается дважды. При построении кривой D – разбиения в плоскости двух параметров необходимо руководствоваться следующими правилами [8,14]:

1) если в системе (6.3.8) первое уравнение получено из вещественных частей, а второе – из мнимых частей функций P(jw), Q(jw) и S(jw) и если параметр m по написанию стоит первым, а l - вторым, то система координат должна быть правой, т.е. ось m является осью абсцисс с отсчетом положительных значений вправо, а ось l - осью ординат с отсчетом положительных значений вверх;

2)двигаясь по кривой D – разбиения при изменении частоты в сторону увеличения, ее штрихуют слева, если D(w)>0, и справа, если D(w)<0; в результате кривая штрихуется дважды с одной стороны, так как на концах кривой при w=0 и w=¥ знак главного определителя D(w) изменяется.

Может быть случай, когда при w=w^*¹ 0,¥ одновременно D(w^*)= =Dm(w^*)=Dl(w^*)=0. Тогда система (6.3.8) становится линейно – зависимой и ее уравнения отличаются друг от друга только на постоянный множитель. В этом случае эта система сводится к одному уравнению, определяющему на плоскости m - l прямую линию, которая называется особой прямой. Если особая прямая пересекает кривую D – разбиения в точке w=w^* и в этой точке определитель D(w) меняет знак, то эта прямая также является границей устойчивости и в указанной точке изменяется направление штриховки кривой и особой прямой. Если при w=w^* изменение знака главного определителя не происходит, то штриховка на особую прямую не наносится. Если свободный член характеристического уравнения d_n=d_n(m,l), то это соответствует существованию особой прямой для w=0 и ее уравнение будет

(6.3.9)

Уравнение особой прямой для w=¥ определяется выражением

(6.3.10)

Прямые (6.3.9) и (6.3.10) называются концевыми. Они штрихуются одинарной штриховкой, согласованной в точках w=0 и w=¥ с напрвлением штриховки основной линии. Предполагаемая область устойчивости находится внутри заштрихованного участка и проверяется аналогично предыдущему. Переход через кривую D – разбиения, заштрихованную дважды, соответствует переходу через границу устойчивости двух корней, а переход через особую концевую с одинарной штриховкой – переходу одного корня. Если концевые прямые не имеют общих точек с основной кривой, то штриховка на них наносится в сторону положительности параметров.

Пример 6.3.3. Построить область устойчивости системы стабилизации угла тангажа в плоскости параметров k_u и k_wz.

Характеристическое уравнение замкнутой системы может быть представлено в виде (6.3.7), где

После подстановки s=jw и выделения вещественных и мнимых частей, получим

Составив систему уравнений (6.3.8) и решив ее, получим

Определив корни этих уравнений, можно сделать вывод, что общих корней, кроме нулевого корня, не существует. Значит особых прямых нет, существует только концевая прямая, соответствующая уравнению d_n=k_ck_u=0. Руководствуясь выше приведенными правилами, построим кривую D – разбиения и заштрихуем ее и концевую прямую. Проверку осуществим в точке k_u=5, k_wz=0.6.

k_wz

Область устойчивости

k_u

Рисунок 6.3.3 - Область устойчивости в плоскости параметров k_u и k_wz.

уже ранее установили, что в этой точке система устойчива, а значит и заштрихованная область является областью устойчивости.