Определение. Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве, называется ортогональным, если для любых двух векторов пространства выполняется условие

Следствия. а) При ортогональном преобразовании евклидова пространства ортогональные векторы преобразуются в ортогональные.

б) Норма вектора не меняется, действительно, .

в) Любой ортонормированный базис евклидова пространства под действием ортогонального оператора преобразуется в ортонормированный базис.

Теорема. Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве , является ортогональным тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе этого пространства ему соответствует ортогональная матрица В. (32)

Определение. Матрица В называется ортогональной, если , т.е. обратная матрица равна транспонированной. (33)

Некоторые свойства ортогональных матриц.

1. .

2.Строки и столбцы ортогональной матрицы образуют ортонормированные системы, т.е. суммы и равны нулю при и равны единице

при .

Пример 27. Убедимся в том, что оператор , проектирующий евклидово пространство на прямую l с единичным направляющим вектором , является самосопряженным.

Решение. Действие данного оператора можно выразить следующим образом:

. (См. пример16)

Отнесем все векторы к общему началу О. Пусть - ортонормированный базис пространства. Составим матрицу данного оператора в нем. (См.(11))

В выбранном базисе координаты единичного вектора ,

где - углы, составленные этим вектором с соответствующими базисными векторами.

Найдем образы базисных векторов и разложим их по векторам выбранного базиса.

Учитывая, что , имеем

,

,

.

Выписывая полученные координаты в соответствующие столбцы, получим матрицу данного оператора в нашем ортонормированном базисе:

Матрица оператора в ортонормированном базисе такова, что , т.е. симметрическая. Отсюда следует, что данный оператор является самосопряженным (см. (28)).

Пример 28. Проверим, является ли ортогональным оператор , который действует в пространстве и в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу .

Выясним, в чем заключается действие этого оператора.

Решение. Для проверки ортогональности данного оператора вычислим обратную матрицу и убедимся в том, что (см. (33)).

. Действительно, .

Из теоремы (см.(32)) следует, что оператор является ортогональным.

Далее отнесем все векторы пространства к общему началу О. Пусть ортонормированный базис, в котором задана матрица состоит из векторов .

Под действием оператора базисные векторы преобразуются в векторы , которые также образуют ортонормированный базис.

Элементы столбцов матрицы являются координатами новых базисных

векторов : ,

.

Построив обе системы базисных векторов с общим началом О, выясняем, что пространство под действием оператора повернулось на угол вокруг точки О и отобразилось симметрично относительно прямой, проходящей через точку О с направляющим вектором . (см. рис. 5)

Из рисунка 5 следует, что

Замечание. В данном примере . Если бы матрица оператора имела вид , то ее определитель равнялся бы 1, и действие соответствующего оператора заключалось лишь в повороте пространства относительно точки О на угол .

Пример 29. Приведём матрицу к диагональному виду. Укажем матрицу перехода.

Решение. В некотором базисе евклидова пространства данной симметрической матрице соответствует самосопряжённый оператор. Следовательно, существует базис из его собственных векторов, и в этом базисе ему соответствует диагональная матрица . (см.(26))

Найдём собственные значения, решив характеристическое уравнение .

.

Найдём собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям. Так как все различны, воспользуемся способом, использующим присоединённую матрицу (см. (27)).

Составим первый её столбец. (Его элементами являются алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы .

Заметим, что, так как все различны, то собственные векторы, им соответствующие, не только линейно независимы, но и ортогональны. Действительно, все скалярные произведения (см. (30)). Таким образом собственные векторы образуют ортогональный базис, в котором матрица оператора приобретает диагональный вид:

Матрица перехода от исходного базиса к новому состоит из координат собственных векторов, записанных в соответствующие столбцы.

(см. (4)).

Так как нормы базисных векторов не равны единице, эта матрица не является ортогональной.

Тогда связь между всеми матрицами имеет вид:

= .

Замечание. Если построить базис из пронормированных собственных векторов , то он будет ортонормированным. Матрица перехода в этом случае окажется ортогональной, само преобразование тоже будет ортогональным. И тогда будет верно равенство . Откуда следует

. (см. (31))

Построим матрицу перехода для ортогонального преобразования. Вычислим нормы собственных векторов:

(см.(9))

Тогда - ортонормированный базис:

,

- ортогональная матрица преобразования.

И теперь

Пример 30. Привести симметрическую матрицу к диагональному виду ортогональным преобразованием. Указать матрицу этого преобразования.

Решение. Матрица самосопряжённого оператора , заданного матрицей А в некотором ортогональном базисе, принимает диагональный вид в базисе из собственных векторов. Так как А - симметрическая матрица, то существует ортонормированный базис из этих векторов, который необходимо найти для построения матрицы преобразования.

Найдём собственные значения, решив характеристическое уравнение .

.

Третий вектор , соответствующий простому корню характеристического уравнения , можно найти, используя присоединённую матрицу

Но для этот способ использовать нельзя. Решим ОСЛАУ , где - матрица, соответствующая искомому собственному вектору.

Равенство равносильно системе, состоящей из одного уравнения . .

общее решение имеет вид

=

соответствуют два линейно независимых собственных вектора

и . Проверим попарную ортогональность собственных векторов. и (Так и должно быть, так как и )

Но . В задаче требуется построить ортонормированный базис, поэтому полученные не подходят. Можно подвергнуть векторы

процессу ортогонализации Грама-Шмидта. Но можно поступить и следующим образом. Собственным значениям соответствует бесконечное множество собственных векторов , где произвольные числа. Один из них получается при и . Подберём так, чтобы векторы и были ортогональны: .

, , .

Пусть , тогда и - второй собственный вектор. Базис из собственных векторов является ортогональным. Пронормируем эти векторы и получим ортонормированный базис: , , (см.(9))

, - ортонормированный базис,

в котором матрица оператора приобретает диагональный вид:

Матрица перехода от исходного базиса к новому состоит из координат собственных векторов , и в новом базисе матрица оператора .(см. (31))

.

Ответ: .

Задачи для самостоятельной работы.

1. Линейный оператор, действующий в пространстве , преобразует вектор следующим образом .

Составьте матрицу этого оператора в стандартном базисе и проверьте, является ли данный оператор самосопряжённым или ортогональным.

Ответ:

2. Приведите матрицу к диагональному виду ортогональным преобразованием. Укажите матрицу преобразования.

Ответ:

Список рекомендуемой литературы.

1. Канатников А.Н., Крищенко А. П. Линейная алгебра. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1998, 336с.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984, 286с.

3. Ильичёв А. Т., Крапоткин В.Г., Савин А.С. Линейные операторы: Методические указания к выполнению типового расчёта. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003, 36с.

Оглавление.

Часть 1. Линейное и евклидово пространства.

Часть 2. Линейный оператор.

Часть 3. Действия с линейными операторами.

Часть 4. Собственные векторы линейного оператора.

Часть 5. Линейный оператор в евклидовом пространстве.