Операции с матрицами. Сложение, умножение, транспонирование матриц

Матрица – это прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m-строк и n-столбцов, состоящая из произвольных чисел а_ij (называемых элементами матрицы) i=1,m; j=1,n

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

………….

a_m1a_m2 …a_mn

Матрица А с элементами a_ij обозначается также A=(a_ij), А=׀a_ij׀

Где i – номер строки и j - номер столбца.

Суммой A+B (m x n)-матриц A=(a_ij) и B=(b_ij), называется матрица C=(c_ij) того же размера, каждый элемент которого равен сумме соответственных элементов A и B:

c_ij = a_ij + b_ij, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n

Произведением αA матрицы A=(a_ij) на число α (действительное или комплексное) называется матрица B=(b_ij), получающаяся из матрицы А умножением всех ее элементов на α:

b_ij = αa_ij, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n

Свойство: α(µА) = αµА

Произведение суммы матриц на число α: α(А+В) = αА + αВ

Произведением АВ (m x n)-матриц A=(a_ij) на (n x k)-матрицу B=(b_ij) называется (m x k)-матрица C=(c_ij), элемент которой c_ij, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы B:

c_ij = ∑ a_iµ + b_µj, i=1,2,…,m, j=1,2,…, k

Произведение двух матриц не обладает свойством коммутативности: АВ ≠ ВА

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА

Матрица А^Т = (a_ij^Т) называется транспонированной к матрице A=(a_ij), если выполняется условие

a_ij^Т = (a_ij), \-/ i, j (любые)