Это второе общее правило – «Правило уравнивания»

4. Наряду с этим нужно помнить, что научить решению задач можно путем показа многочисленных образцов неродственных задач – методы показа.

Нетрудно видеть, что первое общее правило – следствие правил Декарта. Второе общее правило – часть правила Декарта, а метод показа – это пятое положение Ньютона, даже взятые все вместе эти правила не исчерпывают Декарта и Ньютона. Но именно так поступали авторы большинства методических пособий.

Н.Е. Муравьев, автор первого руководства по алгебре на русском языке – «Начальные основания математики» (СПб., 1752), ограничился методом показа на 42-х примерах.

Безу в своем «Курсе математики» (переведенном на русский язык в 1801 г.) ограничился первым общим правилом.

Фуссе в своих «Начальных основаниях алгебры, извлеченных из алгебры Л. Эйлера» (СПб., 1798), ограничился вторым общим правилом.

Первое и второе правила и метод показа являются производными из метода Декарта – Ньютона.

Исходными характеристиками этого метода являются:

1) перевод описания реального явления с естественного языка на аналитический, независимый от того, какие значения величин, описывающих это явление, известны, а какие – нет;

2) свертывание аналитической модели текстовой задачи к оптимальному виду – уравнению – и его решение; 3) обратный перевод ответа с аналитического языка на естественный.

Наряду с общими правилами, вытекающими из этих указаний Декарта и Ньютона, в их трудах имеются и явно ошибочные методические указания. Так, условие Декарта: чтобы задача имела определенное решение, надо иметь столько уравнений, сколько в задаче неизвестных, не является ни необходимым, ни достаточным, так как задача может иметь определенное решение даже тогда, когда число неизвестных больше числа уравнений. Несостоятельна также и рекомендация Ньютона вводить минимальное число неизвестных, особенно на первых порах формирования умения решать аналитические задачи.

Не будучи едиными в использовании производных характеристик метода Декарта – Ньютона, методисты алгебры были едиными в игнорировании его исходных положений и в признании правильными вышеупомянутых ошибочных указаний. Все это привело к тому, что составление уравнений по условию задач стало узким местом в методике обучения математике. Методисты стали искать выход из создавшегося тупика.

Оригинальная попытка в этом направлении была сделана В. Евтушевским и А. Глазыриным в их «Методике подготовительного курса алгебры». В дидактических целях они предлагали располагать текстовые задачи в порядке усложнения соответствующих уравнений (26). В советское время эта идея была возрождена Н. Островским (42) и развита А.Н. Барсуковым (4).

Однако реализация идей А.Н. Барсукова в стабильных учебниках 50–60-х гг. (5, 31) не привела и не могла привести к желанным результатам. Причинами тому были:

1. Надежды, возлагаемые на арифметическую пропедевтику и несовершенство алгебраической, оказались тщетными, несмотря на большую работу, проведенную в этом направлении и, несомненно, имеющую некоторое положительное значение.

2. Авторы отказались от основных положений метода Декарта – Ньютона и тем самым лишили учащихся всяких общих ориентиров по составлению уравнений, кроме метода показа, который, собственно говоря, и не является методом.

3. Авторы классифицировали текстовые задачи не по исходным признакам, что более естественно, а по окончательному виду уравнения, что, конечно, является искусственным признаком, так как окончательное уравнение может быть не адекватно условию задачи.

К.П. Сикорский по этому поводу сказал: «Классификация задач по виду уравнения – самая ненадежная и спорная классификация» (52, с. 42).

После 50-х гг. методисты начинают обращать большее внимание на исходные указания метода Декарта – Ньютона. «Трудностью для учащихся является процесс перевода условия на язык алгебры», – пишет М. Змиева (27, с. 62). На этом вопросе акцентируют свое внимание С.С. Бронштейн (11, с. 110, 117), Д. Майергойз (34, с. 43), И.К. Браун (10, с. 49–54) и др. Наиболее полно этот вопрос позднее был рассмотрен в работах Д. Пойя (43; 44).

В то время указанная трудность усугублялась тем, что «ученик, получив некоторые навыки в составлении формул реальных зависимостей в начале VI класса, на протяжении почти целого года не упражнялся в них и приходил к составлению уравнений в VII классе слабо подготовленным» (27, с. 62).

Для преодоления этой дополнительной трудности и ликвидации разрыва между разделами «Буквенные обозначения» и «Решение задач методом уравнений» А.Н. Барсуков и М.И. Змиева перебрасывают между ними мостик – «Систему подготовительных упражнений для каждого (промежуточного) раздела» по формированию навыков перевода описания реальных зависимостей с естественного языка на язык алгебры и наоборот. «Эти упражнения не были посторонним материалом в указанных разделах, а помогали учащимся видеть на практике применение тождественных преобразований» (27, с. 63).

В этом, несомненно, и заключалась ценность работ А.Н. Барсукова и др. А несовершенство алгебраической пропедевтики А.Н. Барсукова (4) состояло в том, что не уделялось должное внимание буквенным подстановкам и исключению параметров. Этот пробел был ликвидирован В.Л. Гончаровым (15).

И.К. Браун особо подчеркивает важность расположения текстовых задач по мере возрастания трудности перевода их условия на язык алгебры. Сложным задачам должны предшествовать «прозрачные», в которых «само условие уже подсказывает и составление уравнения: уравнение как бы пишется «под диктовку» (10, с. 58).

Сложные же задачи требуют либо знания зависимостей, не упомянутых в условии, либо расшифровки специальных терминов условия, либо перегруппировки частей условия. Нетрудно видеть, что Браун полностью следует третьему положению Ньютона. Аналогичную позицию занимает Д. Пойя, возрождая ньютоновский параллельный перевод с естественного языка на язык алгебры (43, с. 18), а также К.П. Сикорский (52, с. 41, 42).

В 1935 г. вышла в свет «Методика алгебры» С.С. Бронштейна, которая оказала большое влияние на дальнейшее развитие рассматриваемой проблемы. Автор считал, что составление уравнений по условию задачи так трудно для учащихся потому, что:

1) им трудно переключиться от арифметического к алгебраическому способу решения задач;

2) алгебраическая пропедевтика несовершенна, нет достаточного количества разнообразных упражнений на перевод реальных зависимостей с естественного языка на алгебраический. «А между тем перевод словесного текста на математический язык – одна из основных целей обучения математике в средней школе» (11, с. 110);

3) учащиеся зачастую лишены ориентировочной основы действий по составлению уравнений, ибо многие методисты отрицают общий принцип составления уравнений, ограничиваясь пресловутым «методом показа»;

4) ненужное усложнение мыслительной деятельности учащихся по составлению уравнений вносит соблюдение принципа минимальности числа уравнений и числа неизвестных (положение Ньютона).

С.С. Бронштейн пишет: «Главная трудность заключается в составлении уравнений, а не в решении их. Большинство задач на составление уравнений естественнее и проще приводятся к составлению системы; решение их составлением одного уравнения требует навыка и вызывается не необходимостью, а часто погоней за так называемым изящным решением» (см.: там же, с. 117).

Этот разрыв с ошибочной ньютоновской традицией должен был привести к переориентировке на исходные положения метода Декарта – Ньютона, к отказу от субъективизма в умственной деятельности по составлению аналитической модели задачи и к переходу к объективному отражению в модели содержания задачи.

Так на практике и поступает С.С. Бронштейн, давая образцы составления уравнений по условию задач и навлекая на себя нападки методистов за неизящество процесса составления уравнений (4, с. 189-193).

Конечно, его модели еще не совершенны, но они ценны своей полнотой и употреблением общепринятых в науке букв для обозначения величин. С.С. Бронштейн действует как эмпирик, и как эмпирик применяет его метод четверть века спустя В.П. Моденов, различающий в текстовой задаче основные и дополнительные условия (37, с. 46).

В то же время С.С. Бронштейн цепляется за традиционное второе общее правило в худшем его варианте: начинать решение не с выяснения и обозначения искомого, а с выяснения вопроса: «Какие две величины равны друг другу по условию задачи? Это центральный вопрос в задачах на составление уравнений» (11, с. 111). Автор повторяет здесь высказанную до него мысль Н. Островского: «Процесс получения уравнения для всякой задачи начинается с выяснения конечной цели – смыслового значения обеих частей уравнения» (42, с. 83). Именно этот принцип в методике Бронштейна – наиболее уязвимое место и именно он больше всего был подвергнут справедливой критике. Вместо того чтобы, используя объективный критерий – вопрос задачи и благодаря ему при составлении аналитической модели текста получить уравнения, не заботясь на первых порах о том, какой вид примет эта модель после ее сворачивания, этот принцип с порога требует ответа на вопрос: какой будет модель текста после ее сворачивания, какие величины будут уравнены? Решающему остается ориентироваться на свой субъективный опыт, на свою догадку.

Автор не допустил бы этой ошибки, если бы вместо указанного принципа снабдил бы образцы решения методическими указаниями в духе П. Сердобольской:

Приступая к решению аналитической задачи, надо:

1. «Четко указать величины, участвующие в задаче».

2. «Четко указать функциональную зависимость между ними».

Уметь записывать эту зависимость в виде уравнений и неравенств, используя для обозначения величин общепринятые в науке буквы. Это дает возможность составить аналитическую модель, адекватную условию задачи.

3. «Уметь наиболее рациональным путем использовать формулу функциональной зависимости для определения любой величины, входящей в формулу, какая требуется»для сворачивания модели к оптимальному виду (51, с. 29).Аналогичные рекомендации мы позднее встречаем у И.И. Дырченко (25, с. 47).

С.С. Бронштейн дает такой стратегический план решения задач: «1) уяснение условия задачи; 2) составление плана, т.е. изыскание пути от искомого к данным (анализ); 3) выполнение плана, т.е. путь от данного к искомому (синтез); 4) проверка» (11, с. 115, 116), причем проверка понимается широко, как всестороннее исследование задачи после ее решения.

Спустя много лет этот стратегический план был детализирован и конкретизирован в знаменитой работе Д. Пойя «Как решать задачу».

Пойя использовал указания, содержащиеся в трудах Декарта, Паскаля, Ньютона, Паппа и даже народные пословицы (45, с. 99–102).

Методические указания по решению задач Д. Пойя относятся к решению задач любым способом, а не только аналитическим, поэтому мы их рассмотрим в другом месте.

Значительным событием в истории вопроса об аналитическом решении текстовых задач был выход в свет сборника статей «Решение задач в средней школе» под общей редакцией Н.Н. Никитина в 1952 г. Из этого сборника наибольший интерес для нас представляют статьи И.Г. Польского (45) и Н.Ф. Добрыниной (24), посвященные решению аналитических текстовых задач.

Методические рекомендации И.Г. Польского заключаются в следующем:

1. Аналитические задачи должно быть разбиты на группы по содержанию и на подгруппы по степени трудности.

2. Решению задач каждой группы должно предшествовать изучение функциональной зависимости величин, описывающих соответствующее явление. «Эта функциональная зависимость фиксируется в виде равенства (т.е. формулы. – Л.Ф.), причем величины лучше всего обозначить общепринятыми в науке буквами».

3. Решению задач каждой группы должна предшествовать тренировка в тождественных преобразованиях алгебраических выражений, характерных для уравнений, к которым приводят задачи данной группы.

4. Составление плана задачи заключается в ее расчленении на элементарные зависимости между величинами и в записи этих зависимостей в виде равенств.

5. Осуществление плана решения состоит из трех шагов:

Первый шаг – выбор основной неизвестной величины (обычно одного из искомых) и выбор единиц измерения для всех величин, участвующих в задаче.

Второй шаг – заполнение таблицы: а) записываем выражение для неизвестной величины; б) затем числовые значения известных величин; в) и, наконец, составляем выражения для оставшихся величин, зависящих от известных и неизвестных – назовем их «третьими величинами».

Третий шаг – составление уравнения осуществляется почти механически, так как «сама запись нужного нам уравнения является актом, логически вытекающим из проделанного разбора и сделанных записей. А именно: после упомянутых выше записей обычно остается одна неиспользованная числовая данная, однородная с величинами, называемыми «третьими». Вот эту оставшуюся числовую данную мы помещаем в правой части уравнения; в левой же части пишем выражение, составленное из «третьих» величин и равное правой части».

Свою методику И.Г. Польский иллюстрирует на примере:

Поезд идет от А к В со скоростью 30 км/ч и обратно со скоростью 28 км/ч, затрачивая на путь туда и обратно 14,5 ч. Каково расстояние от А до В?

1. План – речь идет о двух прямолинейных равномерных движениях, которым соответствует зависимость S = vt.

2. Выбор основного неизвестного – S – расстояние от А до В.

3. Составление таблицы:

Этап составления	Величина	Единица измерения	Путь от А до В	Путь от В до А
а) запись неизвестных	путь	км	S	S
б) запись известных	скорость	км/ч
в) запись «третьих величин»	время	ч	S /30	S /28

4. Составление уравнения – по смыслу задачи S /30 + S /28 = 14,5 (52)

Нетрудно видеть, что первые четыре пункта – хорошее дополнение к «образцам» С.С. Бронштейна, а пятый пункт – развитие методических указаний И.К. Брауна.

Сторонники методики И.Г. Польского внесли некоторые поправки в нее. Так, И.И. Дырченко дополняет ее общим детальным анализом и требует вместо термина «составление плана» употреблять термин «анализ условия» (25).

К.П. Сикорский предлагает составление таблицы, которому он придает чрезвычайное методическое значение, на первых порах обучения решению аналитических текстовых задач называть «табличным анализом» (52).

В.Г. Болтянский, исходя из потребностей полноценной проверки решения задачи по ее условию, приравнивает элементы таблицы, содержащие неизвестное, а также оставшееся данное к вспомогательным неизвестным и тем самым заменяет таблицу аналитической моделью задачи (6).

Н.Ф. Добрынина пишет: «Начиная анализ задачи с вопроса, учащийся легко может перейти к второстепенным соотношениям, что неизбежно повлечет за собой ряд случайных ошибочных проб в составлении уравнения» (24, с. 123). Чтобы этого избежать, анализ задачи надо начинать с осознания основного соотношения задачи и того, какие величины в этом соотношении участвуют. Затем нужно составить соответствующее словесное уравнение. Лишь после этого выбирается основное неизвестное, выражаются через него все прочие неизвестные и подставляются в словесное уравнение, превращая его в аналитическое.

Проиллюстрируем этот метод на задаче, рассмотренной выше.

Первый этап – осознание основного соотношения и формулировка словесного уравнения: сумма времени прохождения поездом расстояния от А до В и обратно от В до А дана; время же можно получить, деля расстояние на скорость.

Второй этап – введение основного неизвестного и выражение через него других неизвестных. Пусть искомое расстояние равно х. Тогда время движения поезда от А до В равно х /30, а обратно: х /28.

Третий этап – составление аналитического уравнения: подставляем найденные выражения в словесное уравнение и получим:

х /30 + х /28 = 14,5.

Вопрос о том, в каком порядке следует составлять уравнение, какие этапы должны быть в этом процессе, обсуждался во многих методических пособиях и статьях. Но ничего принципиально нового в них не было, были лишь споры по частным вопросам: о порядке составления уравнения, способах анализа текста задачи, классификации задач. Так, П.М. Эрдниев в книге «Методика упражнений по математике» весьма подробно обсуждает эту проблему и выдвигает свою классификацию задач, которая основана на идеях И.В. Арнольда, но является более подробной (59).

После 60-х гг. аналитический способ решения сюжетных задач прочно вошел в практику обучения не только средней школы, но и начальной. В 1962–1964 гг. на страницах журнала «Математика в школе» прошла оживленная дискуссия по этому вопросу. Б.В. Гнеденко и А.И. Маркушевич критиковали сложившуюся в школе практику решения текстовых задач преимущественно арифметическими методами и требовали «сдвига» на алгебраический метод. Так, Б.В. Гнеденко писал: «Приверженцы установившихся в школьном математическом преподавании традиций утверждают, что чисто арифметическое решение задач на уравнения первой степени якобы развивает логические способности учащихся. На меня этот аргумент действует примерно так же, как утверждение, что изучение Талмуда способствует развитию у учащихся строгости логического анализа. Такое утверждение до некоторой степени правильно, однако едва ли кто-либо из нас сочтет этот аргумент достаточным для введения Талмуда в курс средней школы в качестве особого предмета» (16, с. 32).

А.И. Маркушевич писал, что «следует критически пересмотреть традиционное отношение к арифметическим методам решения задач и остатки «культа» этих методов изжить из нашей школы» (35, с. 11).

Особенно резко выступил А.Я. Хинчин против использования в школе арифметических методов решения задач. Приведя примеры арифметического решения задач и показав, что это «дословный перевод... алгебраического решения с языка формул на язык слов», далее он писал: «...положительно утверждаю, что почти все арифметические задачи на соображение, выходящие за пределы просто вычислительных примеров, носят тот же характер; это сплошь алгебраические задачи на составление уравнений и систем уравнений первой степени. Конечно, если угодно, то можно всегда, ценою весьма неприятной искусственности и значительного затемнения метода, весь необходимый алгебраический анализ задачи провести словесно, без формул и буквенных обозначений... надеюсь, что я не одинок в резком чувстве отвращения к подобного рода «арифметическим» решениям.

Для чего это нужно? Какую «сообразительность», какие вообще ценные способности ума можно развить в ребенке, заставляя проделывать такие противоестественные, инстинктивно отталкивающие его упражнения? В VII классе на уроках алгебры он научится решать те же задачи легко, естественно, почти механически. Не похоже ли это на то, как если бы солдата в течение первого года службы заставляли овладевать ружьями, скажем, допетровской Руси, а только потом дали бы ему в руки винтовку современного образца?» (54, с. 167).

Под влиянием этих резких выступлений известных математиков некоторые методисты «ударились» в другую крайность – они призывали и пытались на практике совсем изгнать из школы арифметические способы решения задач. Так, например, Ф.Г. Боданский провел широкий эксперимент в начальной школе по обучению учащихся, начиная с первого класса, алгебраическим способам решения текстовых задач. Он писал: «Свою экспериментальную работу мы строили, исходя из других теоретических предпосылок (имеются в виду методики А.С. Пчелко и Л.Н. Скаткина. – Л.Ф.). Прежде всего составление уравнений с самого начала обучения вводилось как самодовлеющий и единственный (выделено. – Л.Ф.) способ решения текстовых задач и никаким обобщением арифметического быть не могло» (7, с. 240).

И вот вслед за Ф.Г. Боданским многие учителя и методисты попытались совсем изгнать из начальных классов арифметические способы решения текстовых задач и, начиная с первого класса, решать их исключительно с помощью уравнений. Весьма четкую оценку этим методическим новшествам дал академик А.Н. Колмогоров: «...Сейчас можно наблюдать, что использование «икса» применяется и тогда, когда это необходимо, и тогда, когда это попросту не нужно. Порой считают, что детям будет проще решать, если даже выполнение простейшей арифметической операции 5 + 3 записывать с «иксом» в виде: 5 + 3 = х. На мой взгляд, это скорее анекдот, чем серьезная методическая идея» (29, с. 8).

К этому вопросу мы еще вернемся в третьей части книги.

Таким образом, мы видим, что все проблемы методики аналитических задач пока еще не получили какого-то обоснованного решения, но накоплен большой арсенал различных мнений и разных подходов к решению этих проблем. Для того чтобы обоснованно решить эти весьма не простые вопросы, необходимо опираться на логико-психологическую теорию сюжетных, в том числе и аналитических, задач. Одна из возможных таких теорий, разработанных нами, будет изложена далее. И только на основе этой теории будет предложена система методических рекомендаций, или, как сейчас принято говорить, технология решения сюжетных задач, в третьей заключительной части книги.

Задание 2. Решите все задачи 1–25 из п. 1.1 алгебраическим методом. Установите, какие задачи легче решить, используя арифметические методы, а какие – алгебраические методы.

Литература

1. Александров И.И., Александров А.И. Методы решения арифметических задач. – М., 1955.

2. Альтшулер И.К. К вопросу о методике составления уравнений // Математика в школе. – 1940. – № 2.

3. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач // Изд-во АПН РСФСР. – 1946. – Вып. 6.

4. Барсуков А.Н. Уравнения первой степени в средней школе. – М., 1948.

5. Барсуков А.Н. Алгебра. – М., 1951. – Ч. I, II.

6. Болтянский В.Г. Нужна ли проверка при решении текстовых задач на составление уравнений // Математика в школе. – 1971. – № 3.

7. Боданский Ф.Г. Формирование алгебраического способа решения задач у младших школьников // Психологические возможности младших школьников в усвоении математики / Под ред. В.В. Давыдова. – М., 1969.

8. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. – М., 1954.

9. Браун И.К. О составлении уравнений // Математика и физика в школе. – 1936. – № 5.

10. Бронштейн С.С. Методика алгебры. – М., 1935.

11. Бронштейн С.С. Алгебра и ее преподавание в семилетней школе. – М., 1946.

12. Воронов Д.М. Опыт систематизации типовых арифметических задач. – М., 1939.

13. Голъденберг А.И. Беседы по счислению. – Спб., 1914.

14. Гончаров В.Л. Начальная алгебра. – М., 1960.

15. Гнеденко Б.В. Роль математики в развитии техники и производства // Математика в школе. – 1962. – № 1.

16. Гуде Ф.Г. Методика и дидактика арифметики. – Спб., 1899.

17. Гурьев П.С. Руководство к преподаванию арифметики. – Спб., 1889.

18. Декарт Р. Избранные произведения. – М., 1950.

19. Декарт Р. Рассуждение о методике с приложениями. – М., 1953.

20. Депман И. История арифметики. – М.,1959.

21. Дистервег А. Избранные педагогические произведения. – М., 1956.

22. Доблаев Л.П. Мыслительные процессы при составлении уравнений // Изд-во АПН РСФСР. – 1957. – Вып. 80.

23. Добрынина Н.Ф. Мыслительные процессы при составлении уравнений // Решение задач в средней школе. – М., 1952.

24. Дырченко И.И. Составление уравнений по условию задачи // Математика в школе. – 1954. – № 1.

25. Евтушевский В., Глазырин А. Методика приготовительного курса алгебры. – Спб., 1876.

26. Змиева М. Опыт подготовки учащихся к составлению уравнений 1-й степени // Математика и физика в школе. – 1935. – № 5.

27. Кавун И.Н. Методы преподавания математики // Математика и физика в школе. – 1935. – № 4.

28. Колмогоров А.Н. Новые программы, специализированные школы // Математическое образование сегодня. – М., 1974.

29. Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. – М., 1951.

30. Ларичев П.А. Сборник упражнений по алгебре. Ч. I и II. – М., 1951.

31. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. – М., 1977.

32. Ляпин С.Е. Методика преподавания математики. – М.-Л., 1952.

33. Майергойз Д. К методике составления уравнений по условию задачи // Математика в школе. – 1936. – № 5.

34. Маркушевич А.И. О задачах преподавания математики в школе // Математика в школе. – 1962. – № 2.

35. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии преподавания арифметики в начальных классах. – М., 1965.

36. Моденов В.П. О составлении уравнений при решении текстовых задач // Математика в школе. – 1969. – № 6.

37. Моисеев Н.Н. Математические модели экономической науки. – М., 1973.

38. Невский А.П. Об исследовании уравнений в курсе математики средней школы // Из опыта преподавания математики в VIII–Х классах средней школы / Под ред. П.В. Стратилатова. – М., 1955.

39. Никитин Н.Н. Решение арифметических задач в начальной школе. – М., 1952.

40. Ньютон И. Всеобщая арифметика. – М., 1948.

41. Островский Н. Метод составления уравнений 1-й степени с одним неизвестным // Математика и физика в школе. –1934. – № 3.

42. Пойя Д. Как решать задачу. – М., 1961.

43. Пойя Д. Математическое открытие. – М., 1970.

44. Польский И.Г. Составление уравнений по условию задачи // Решение задач в средней школе. – М., 1952.

45. Поляк Г.Б. Обучение решению задач в начальной школе. – М., 1950.

46. Попова Н.С. К вопросу о видах простых арифметических задач // Начальная школа. – 1949. – № 5.

47. Принцев Н.А. О классификации простых арифметических задач // Начальная школа. – 1949. – № 11.

48. Решение задач в средней школе / Под ред. Н.Н. Никитина. – М., 1952.

49. Рыбников К.А. История математики. – М., 1960. – Т. 1.

50. Сердобольская П. Методика составления уравнений // Математика в школе. – 1940. – № 1.

51. Сикорский К.П. О составлении уравнений по условию задачи // Математика в школе. – 1954. – № 1.

52. Скаткин Л.Н. Виды простых арифметических задач // Начальная школа. – 1949. – № 2.

53. Фридман Л.М. Изучаем математику – М., 1995.

54. Xинчин А.Я. Педагогические статьи. – М., 1963.

55. Чистяков В.Д. Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными решениями. – Минск, 1962.

56. Чичигин В.Г. Методика преподавания арифметики. – М., 1949.

57. Шохор-Троцкий С.И. Методика арифметики. – Спб., 1903.

58. Шохор-Троцкий С.И. Геометрия на задачах. – Спб., 1913.

59. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. – М., 1970.

60. Эрн Ф.А. Очерки по методике арифметики. – Спб., 1912.