Аналитический прием

Примечание. Третий столбик (решение) заполняется, идя снизу вверх.

В заключение рассмотрим, как в методических руководствах решался вопрос о классификации простых задач. Этому вопросу всегда уделялось большое внимание. Но почти все методисты – И.Н. Кавун, Н.М. Попова, Г.Б. Поляк, А.М. Пчелко, Е.С. Березанская и др. шли в фарватере идеи И.И. Александрова о классификации задач по методам их решения, по «тем приемам рассуждений, которые приводят к выбору действий» (41, с. 24), оставляя в стороне анализ содержания самих задач. В отличие от них, И.В. Арнольд исходил именно из анализа содержания задачи, к сожалению, впадая в другую крайность. Если И.И. Александрова интересует лишь субъективный аспект вопроса, то И.В. Арнольд беспокоится только об объективном аспекте. Оба впадают в крайность, так как задача есть категория объективно-субъективная. Важны и анализ содержания, и приемы рассуждения, обусловливающие метод решения.

Ранее уже было сказано о неоптимальном изложении И.В. Арнольдом своей классификации задач. Этого недостатка лишена классификация простых задач, предложенная Л.Н. Скаткиным в 1949 г. Она состоит из двух таблиц – для операций первой ступени (12 видов) и операций второй ступени (12 видов). В каждой таблице имеются четыре основные задачи, каждой из которых соответствуют две обратные, образованные из основной путем обмена искомого с каждым из двух данных.

Основные задачи первой ступени базируются на следующих соотношениях: 1) объединение двух совокупностей в одну; 2) изъятие из совокупности ее части; 3) сопоставление двух совокупностей.

Этим соотношениям соответствуют действия: 1) нахождение суммы двух чисел; 2) нахождение остатка; 3) нахождение разности, т.е. определение того: а) на сколько одно число больше другого; б) на сколько одно число меньше другого. Вторая таблица составляется по аналогии с первой, но здесь не приведены соотношения, являющиеся базой соответствующих действий. Это обстоятельство дало повод многим критикам упрекать Л.Н. Скаткина в формализме.

В заключение Л.Н. Скаткин пишет: «Значение этой классификации заключается в том, что она дает возможность обеспечить подбор задач разнообразных видов для решения их учащимися. Пользуясь этой классификацией, можно установить, каких видов задач недостает в сборниках арифметических задач, применяемых в школах с тем, чтобы восполнить обнаруженные пробелы... Классификация указывает связь между задачами разных видов, что дает возможность наметить методически правильный путь обучения детей решению более трудных из простых задач» (53, с. 21).

Сравнивая классификацию Л.Н. Скаткина с классификацией И.В. Арнольда, обнаруживаем:

1) у И.В. Арнольда отсутствуют соотношения соединения и изъятия совокупностей, которые имеются у Л.Н. Скаткина; 2) у Л.Н. Скаткина отсутствуют соотношения изменения (разностного и кратного), кратного сопоставления, целого и части, перехода от одной единицы измерения к другой, которые имеются у И.В. Арнольда; 3) Л.Н. Скаткина интересует не только объективный, но и субъективный аспекты вопроса, зато И.В. Арнольд последователен в своем объективном анализе содержания задач не только первой, но и второй ступеней; 4) очень важна постановка вопроса о связи между видами задач, однако нельзя здесь ограничиваться лишь связями между прямыми и обратными задачами, как это имеет место у Л.Н. Скаткина; 5) очень существенна постановка вопроса о полноте классификации простых задач (в первую очередь, для составителей учебных пособий для начальной школы), но, к сожалению, рассмотренные классификации являются неполными.

Идеи Л.Н. Скаткина о важности аналогии и противопоставления в системе задач были подхвачены П.М. Эрдниевым и всесторонне им раскрыты к различным областям школьного курса математики (59).

Таким образом, главный упрек, который можно поставить Л.Н. Скаткину, – это неполнота классификации и непоследовательное проведение идеи И.В. Арнольда о величине как руководящем принципе анализа и классификации задач.

Хотя автор данного пособия полностью солидарен с исходными положениями Н.А. Принцева: 1) от предметных задач через примеры к сюжетным задачам; 2) классификация простых задач должна быть простой, она должна исходить из анализа содержания и учитывать приемы решения (48), но нельзя согласиться с его мнением, что классификация Н.Н. Никитина удовлетворяет этим требованиям лучше, чем классификация Л.Н. Скаткина. По первому пункту Н.Н. Никитин занимает диаметрально противоположную позицию, придерживаясь концепции С.И. Шохор-Троцкого; по второму пункту оба автора учитывают как объективный, так и субъективный аспекты вопроса, но Л.Н. Скаткин идет от объективного анализа задач к субъективному методу их решения, в то время как Н.Н. Никитин занимает противоположную позицию. Классификация обоих авторов неполна; у обоих – неполное раскрытие связей между отдельными видами задачи (у каждого в своем роде).

Как видим, многие вопросы методики сюжетных задач до сих пор не получили должного внимания. По нашему наблюдению, все это объясняется тем, что авторы методических пособий при решения тех или иных вопросов не опирались на достаточно разработанную теорию задач, а исходили из своей практики и практики других учителей, что, конечно, недостаточно для решения сложных вопросов, связанных с использованием сюжетных задач в школьном курсе математики. В следующей части этой книги он попытался изложить разработанную им теорию сюжетных задач, на основе которой можно будет более обоснованно решать все затронутые здесь вопросы. А пока рассмотрим очень важный и болезненный вопрос об использовании уравнений и систем уравнений для решения сюжетных задач.