Пример диметрической и изометрической проекций

Косоугольные проекции. В косоугольных проекциях проектирующие прямые образуют с плоскостью проекции угол отличный от 90⁰. Поэтому появляются составляющие косоугольной проекции единичного вектора Z на плоскость XY. Тогда единичный вектор оси Z || 0 0 1 1 || преобразуется в вектор

|| P_x P_y 0 1 ||а матрица такого преобразования с проекцией на плоскость Z=0 будет иметь вид

Различные типы косоугольных проекций характеризуются величиной угла между проекторами и плоскостью проекции. При этом выделяют:

1. Свободную проекцию, когда этот угол равен 45⁰.

2. Кабинетную проекцию, которая является частным случаем свободной проекции, когда масштаб по третьей оси уменьшен в два раза.

Поэтому для свободной проекции Р_х=cos45⁰ и P_y=sin45⁰, а для кабинетной проекции P_x=1/2 cos45⁰, а P_y=1/2sin45⁰.

Перспективные преобразования и проекции. Перспективному преобразованию может предшествовать последовательность аффинных преобразований. Аффинное преобразование – геометрическое преобразование плоскости или пространства, которое можно получить, комбинируя движения, зеркальные отображения и масштабирования в направлениях координатных осей.

Таким образом, чтобы получить перспективные изображения из произвольной точки наблюдения, вначале используют аффинные преобразования, позволяющие сформировать систему координат с осью z вдоль желаемой линии визирования. Затем применяют перспективное преобразование, а проекционное преобразование используют для того, чтобы спроецировать общее положение точек на плоскость наблюдения z=0 в текущей системе координат.

Перспективные проекции на плоскость Z=0 получаются из следующего общего матричного уравнения:

P*= P M(Перспек.), где М(Перспек.) =

.

Разные виды перспективных проекций получаются за счёт переменных p,q,r.

Значения	Вид проекции
(p,q,r)≠0	трёхточечная проекция с сходом на осях X,Y,Z
(q,r)=0	одноточечная проекция с сходом на оси X
(p,r)=0	одноточечная проекция с сходом на оси Y
(p,q)=0	одноточечная проекция с сходом на оси Z
r =0	двухточечная проекция с точками схода на X,Y
q =0	двухточечная проекция с точками схода на X,Z
p =0	двухточечная проекция с точками схода на Y,Z

Конкретными значениями p, q, r являются величины обратно пропорциональные соответствующим фокусным расстояниям.

Примеры решения типовых задач

Примеры построения перспективных проекций

Пример 1. Вычислить перспективные проекции с фокусным расстоянием равным 10 для единичного куба. (см. пример диметрии и изометрии)

1. С одной точкой схода на оси Z

2. С двумя точками схода на осях X и Y

3. С тремя точками схода

Решение. С одной точкой схода на оси Z

С одной точкой схода на оси Z

Решение. С двумя точками схода на осях X и Y

Решение. С тремя точками схода