Классификация проекций

Проекции

Параллельные

Центральные

Аксонометрические

Косоугольные

Однофокусные Двухфокусные Трёхфокусные

Ортогональные Изометрия Диметрия Триметрия

Свободные Кабинетные

Аксонометрические проекции. Аксонометрической называется проекция, у которой проекторы перпендикулярны плоскости проекции, иначе имеем косоугольную проекцию.

Среди аксонометрических проекций различают:

· ортогональную проекцию, когда проекционная плоскость перпендикулярна главным координатным осям;

· изометрию, когда в плоскости проекции три оси одинаково сокращены;

· диметрию, когда в плоскости проекции две оси одинаково сокращены;

· триметрию, когда в плоскости проекции разное сокращение по всем осям.

Ортогональные проекции. Рассмотрим часто употребляемое в техническом черчении ортогональное проецирование, которое слагается из фронтальных, профильных и горизонтальных проекций. Для этого рассмотрим сначала проекции в плоскостях X=0, Y=0, Z=0. Преобразование проецирования в соответствующую нулевую плоскость всегда содержит нулевой столбец, соответствующий плоскости проекции. Поэтому матрицы преобразования проецирования будут иметь вид

Матрицы преобразования проецирования в плоскостях X=0, Y=0, Z=0:

.

Естественная видовая плоскость экрана ХУ с Z=0, поэтому рассмотрим различные виды ортогональных проекций на плоскость Z=0. Для того, чтобы получить необходимый вид проекции, необходимо:

1. Выполнить вращение объекта вокруг оси Х или У до тех пор, пока требуемый вид объекта примет фронтальный вид.

2. Выполнить проецирование из бесконечности на плоскость Z=0.

Тогда алгоритмы ортогонального проецирования запишутся как:

М(Ф_п) = M(R(Х, 0)) ´ M(z=0) - (фронтальная проекция, вид спереди);

М(Ф_з)=M(R(Х,180)) ´ M(z=0) - (фронтальная проекция, вид с тыла);

М(Г_в) = М R(Х, 90)) ´ M(z=0) - (горизонтальная проекция, вид сверху);

М(Г_н) = М(R(Х, -90)) ´ M(z=0) - (горизонтальная проекция, вид снизу);

М(П_л) = М(R(Y, 90)) ´ M(z=0) - (профильная проекция, вид слева);

М(П_п) = М(R(Y, -90)) ´ M(z=0) - (профильная проекция, вид справа).

Подставляя в матрицы M(R(X,Q)) и M(R(Y,Q)) значения Q соответствующих видовых преобразований получим

Эти матрицы составляют программное обеспечение ортогонального проецирования и после выполнения умножения матрицы описания объекта на соответствующую матрицу видового преобразования, получаем нужную проекцию, т.е. Р*=РМ(вида).

Рассмотрим примеры вычисления ортогональных проекций для равнобедренной усечённой пирамиды (рис. 1, лекция 1) с учётом ОК.

Исходная матрица	Матрица преобразования	Преобразованная матрица Р*	Нормализованная матрица Р*
´	= Профильная проекция вид слева
= Горизонтальная проекция вид сверху

Изометрия, диметрия и триметрия. Ортогональное проецирование позволяет “увидеть” каждую грань объекта в отдельности. Для того чтобы “увидеть” сразу несколько граней, применяют диметрическое и изометрическое проецирование. Изометрия, диметрия получаются комбинацией поворотов, за которыми следует проекция из бесконечности. Если нужно описать проекцию на плоскость z=0, то сначала необходимо осуществить преобразование поворота на угол b относительно оси Y, затем на угол a относительно оси Х. Тогда общее уравнение получения диметрии или изометрии на пдоскость Z=0, имеет вид

M(Дим или Из = М(R(Y, b)) М(R(X, a)) M(Z=0)

После выполнения умножения получаем

.

Для диметрии ось z сокращается в 2 раза. Тогда угол a =20,7⁰, а b = 22,2⁰.

.

Для изометрии a=35,26⁰; b=45⁰. Тогда после вычисления тригонометрических функций матрица преобразования для изометрии запишется в виде

.

Пример вычисления диметрии и изометрии на плоскость Z=0 для единичного куба.

Р =