Властивості визначників

1. Визначник не змінюється при транспонуванні матриці. Отже, при обчисленні визначника його рядки та стовпчики є рівноправними.

2. Якщо визначник містить нульовий рядок (стовпчик), то він дорівнює нулю.

3. Якщо всі елементи рядка (стовпчика) визначника мають спільний множник, то цей множник можна винести за знак визначника.

4. При перестановці двох довільних рядків (стовпчиків) визначника, визначник змінює знак на протилежний.

5. Якщо визначник містить два однакових рядки (стовпчики), то він дорівнює нулю.

6. Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики), то він дорівнює нулю.

7. Сума добутків елементів одного рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення до елементів іншого рядка (стовпчика) цього визначника, дорівнює нулю.

8. Визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників цих матриць: . З цієї властивості слідує, що хоча , але .

9. Визначник не зміниться, якщо до елементів довільного його рядка (стовпчика) додати відповідні елементи іншого його рядка (стовпчика), помножені на довільне число.

Зауваження. Остання властивість використовується для спрощення елементів визначника перед використанням теореми Лапласа.

Приклад 6. Обчислити визначник: .

Користуючись властивістю 3, винесемо спільний множник з першого стовпчика: = . Користуючись властивістю 9, перетворимо визначник так, щоб всі елементи третього стовпчика обертались в нуль, крім одного елементу. Цей елемент називається ведучим. Нехай ведучим елементом, наприклад, буде одиниця, розташована у третьому рядку та третьому стовпчику. Додамо до елементів першого рядка відповідні елементи третього рядка, помножені на 3; до елементів другого рядка додамо відповідні елементи третього рядка. Після цього розкладемо отриманий визначник за третім стовпчиком, користуючись теоремою Лапласа.

= = .

Останній визначник можна порахувати за правилом трикутників або продовжити його спрощення. Винесемо спільний множник елементів другого стовпчика за знак визначника та зробимо нульовими елементи цього стовпчика, вибираючи за ведучий його елемент з третього рядка. Після чого розкладемо отриманий визначник за цим стовпчиком.

= =

= = =48.