Метод пониження порядку визначника

Додатковим мінором до елемента квадратної матриці називається визначник матриці, яка утворюється з даної викресленням того рядка і того стовпчика, де знаходиться цей елемент.

Алгебраїчним доповненням до елемента квадратної матриці називається число .

Теорема Лапласа. Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого її рядка (стовпчика) на їх алгебраїчні доповнення.

Значення теореми Лапласа полягає в тому, що вона дозволяє звести обчислення визначника n -го порядку до обчислення визначників (n –1)-го порядку.

Приклад 5. Обчислити визначник: .

Розкладемо визначник, користуючись теоремою Лапласа, за першим стовпчиком.

= = = = = –30.

Зауваження. З розв’язку видно, що визначник верхньо- або нижньотрикутної матриці дорівнює добутку елементів її головної діагоналі.

Якщо б серед елементів матриці не було б нульових, то використання теореми Лапласа привело б до обчислення чотирьох ненульових доданків з визначниками третього порядку. Отже, в таких випадках перед використанням теореми необхідно спростити елементи визначника, користуючись властивостями визначників.