Метод поділу відрізку навпіл

Метод поділу відрізку навпіл (дихотомії) передбачає послідовне обчислення значень функції в ряді точок. Перед використанням методу необхідно визначити відрізок, який містить лише один корінь рівняння. Для пошуку такого відрізку можна скористатись графічним способом.

Нехай потрібно знайти корінь рівняння (2.1), який знаходиться на відрізку . У випадку єдиного кореня на вказаному відрізку буде виконуватись умова

. (2.2)

Далі відрізок починають зменшувати, визначаючи на кожному кроці алгоритму координати його нових граничних точок і за значеннями , та координати середини відрізка :

.

У залежності від знаку функції в точці новий відрізок знаходження кореня встановлюється за допомогою наступного правила:

(2.3)

де ; – середня точка відрізку (рис.3). Блок-схема алгоритму поділу відрізка навпіл наведено на рис. 4

Довжина відрізка ізоляції кореня після виконання кроків зменшується до величини

,

а значення кореня , обумовлено координатою середньої точки, і його похибки задаються виразами:

. (2.4)

Із формули (2.4) випливає, що збіжність процесу обчислень дуже повільна, оскільки точність в одному десятковому розряді досягається за 3-4 кроки через те, що . Разом з тим, цей метод має абсолютну збіжність, тому ніяких вимог до вигляду і властивостей функції не висувається.

Приклад 2. Користуючись методом поділу відрізка навпіл обчислити корені рівняння із заданою точністю та підрахунком числа ітерацій.

Лістинг обчислення кореня рівняння, який знаходиться на відрізку методом поділу відрізка навпіл, реалізованого в пакеті Mathcad, наведено на рис. 5.

Рис. 5.

Таким чином: при значення кореня , число ітерацій ; при значення кореня , число ітерацій ;