Постановка задачі

Нехай потрібно розв’язати нелінійне рівняння

, (2.1)

де функція визначена і неперервна на деякому проміжку . Якщо функція — алгебраїчний многочлен, то рівняння (2.1) називається алгебраїчним. Якщо функція містить тригонометричні, показникові або логарифмічні функції, тоді рівняння (2.1) називають трансцендентним.

Розв’язати рівняння означає знайти множину його коренів, тобто таких значень , при яких рівняння (2.1) перетвориться в тотожність. Корінь рівняння (2.1) ще називається нулем функції .

Знайти точні значення коренів заданого рівняння можна лише для найпростіших функцій : алгебраїчних многочленів не вище четвертого степеня, деяких многочленів степеня і деяких трансцендентних функцій.

Універсальних методів для знаходження точних значень коренів алгебраїчних рівнянь степеня і трансцендентних рівнянь не існує. Тому розв’язання нелінійних рівнянь виконується переважно чисельними методами, які базуються на ітераційності розв’язку і локальності апроксимації.

Нехай – точний корінь, а ­– його наближене значення. Кажуть, що корінь обчислено з наперед заданою точністю , якщо . Нехай, наприклад, і , тоді числа і — наближені значення кореня відповідно з недостачею і надлишком з точністю . У цьому випадку за наближене значення з точністю можна взяти будь-яке число з відрізка .

У загальному випадку процедура розв’язання нелінійних рівнянь складається з двох етапів:

– відокремлення коренів рівняння, тобто попереднє знаходження інтервалів, що містять лише один корінь (локалізація коренів);

– уточнення коренів, тобто обчислення коренів із заданою точністю.

Перший етап називають ще задачею визначення відрізків ізоляції коренів, а другий – уточненням наближених коренів. Перший етап, як правило, складніший за другий, оскільки для загального випадку немає досить ефективних методів відокремлення коренів. Для знаходження коренів з наперед заданою точністю застосовують методи, які дають можливість уточнювати знайдені наближення коренів. Такі методи називаються ітераційними.