Формулы Френеля

Разложим вектор электрической напряженности для каждой волны на две компоненты, одна из которых параллельна плоскости падения , а вторая перпендикулярна ей , при этом .

Электрический вектор поля падающей волны определится соотношениями (см. рис. 3.1)

(3.8)

Магнитный вектор связан с электрическим соотношением (1.чч):

.

Учитывая, что коэффициент m незначительно отличается от единицы , получим выражение для магнитного вектора в следующем виде

. (3.9)

(3.10)

Аналогичными выражениями будут определяться и векторы поля преломленной и отраженной волн:

(3.11)

;

(3.12)

(3.13)

;

(3.14)

Граничные условия (1.) и (1.) требуют непрерывности тангенциальных составляющих векторов E и H на границе сред

(3.15)

при этом граничные условия для нормальных компонент B и D выполнятся автоматически.

Принимая во внимание, что , получим соотношения связывающие компоненты электрического вектора поля падающей, отраженной и прошедшей волн:

(3.16.а)

(3.16.б)

Уравнения (3.16.а) содержат только компоненты параллельные плоскости падения, а уравнения (3.16.б) лишь перпендикулярные ей. Следовательно, можно сделать вывод о том, что эти два типа компонент могут рассматриваться как различные независимые друг от друга волны.

Выразим компоненты прошедшей и отраженной волн через компоненты падающей волны.

Для этого первое соотношение из (3.16.а) умножим на n ₁, а второе – на и сложим их

,

.

Сложим первое соотношение из (3.16.б) умноженное на со вторым

,

.

Вычтем из первого соотношения (3.16.а), умноженного на n ₂ второе, умноженное на

,

.

Вычтем из второго соотношения (3.16.б) первое, умноженное на

,

.

Полученные соотношения

(3.17.а)

(3.17.б)

называются формулами Френеля. Разделив выражения (3.17) на n ₁ перейдем к относительному показателю преломления n:

Используя закон преломления можно избавиться от показателей преломления в данных формулах.

,

.

Для преобразования использовались тригонометрические формулы:

,

.

Таким образом, получена наиболее часто используемая форма формул Френеля:

(3.18.а)

(3.18.б)

Проанализируем соотношения (3.17) и (3.18).

В случае нормального падения соотношения Френеля принимают вид

(3.19.а)

(3.19.б)

Особый интерес представляет случай, когда направление распространения падающей и отраженной волн перпендикулярны друг другу , а . Тогда в отраженной волне отсутствует составляющая вектора E параллельная плоскости падения . Угол падения для которого выполняется данное условие можно найти, подставив в закон преломления ,

.

Такой угол падения называют углом полной поляризации или углом Брюстера.

Закон Брюстера.

При падении световой волны на границу двух сред с относительным показателем преломления n, под углом Брюстера

, (3.20)

отраженная волна полностью поляризована в плоскости падения, прошедшая волна при этом будет максимально поляризованной.