Институт профессиональных бухгалтеров (ИПБ) России и его роль в реформировании бухгалтерского учета

9.

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальныйa_П1; - фронтальный a_П2; - профильный a_П3).

2. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (a ^П₁), называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рис.46).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 46. Горизонтально проецирующая плоскость

2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (a^П ₂)- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости a является прямая линия, совпадающая со следом a_П2 (рис.47).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 47. Фронтально проецирующая плоскость

2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости (a^П ₃) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость (рис.48).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 48. Биссекторная плоскость

3. Плоскости, параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельна исследуемая плоскость, различают:

3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (a//П ₁) - (a^П₂,a^П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П ₁ без искажения, а на плоскости П₂ и П₃ в прямые - следы плоскости a_П2 и a_П3 (рис.49).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 49. Горизонтальная плоскость

3.2. Фронтальная плоскость - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (a//П₂), (a^П₁, a^П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П ₂ без искажения, а на плоскости П ₁ и П ₃ в прямые - следы плоскости a_П1 и a_П3 (рис.50).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 50. Фронтальная плоскость

3.3. Профильная плоскость - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (a//П₃), (a^П₁, a^П₂). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П ₃ без искажения, а на плоскости П₁ и П₂ в прямые - следы плоскости a_П1 и a_П2 (рис.51).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 51. Профильная плоскость

10.

Прямые уровня - это прямые, принадлежащие плоскости и параллельные какай - либо плоскости проекций. Эти прямые называют прямыми уровня, так как они принадлежат плоскости уровня. Существует три вида прямых уровня:

• h - горизонталь плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₁;
• f - фронталь плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₂;
• w - профильная прямая плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₃.

Прямая, принадлежащая плоскости и к горизонтали, фронтали или профильной прямой, называется линией наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций П₁, П₂ или П₃. Линию наибольшего наклона к плоскости проекций П₁ называют линией наибольшего ската.

Прямые уровня и линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций называют главными линиями плоскости.

11.

Под позиционными задачами будем понимать задачи по определению общих элементов геометрических фигур. К ним относятся задачи на принадлежность и задачи на пересечение геометрических фигур.

Принадлежность точки прямой: Если точка принадлежит прямой, то на эпюре одноименные проекции этой точки принадлежат одноименным проекциям этой прямой.

Точка А принадлежит прямой a
Точка В не принадлежит прямой а

Принадлежность точки, прямой плоскости

Для определения принадлежности точки и линии поверхности рассмотрим следующие позиционные задачи:

Задача Построение линии принадлежащей поверхности, если одна из проекций линии задана (рис. 8.17).

Дано: 1.Поверхность Ф, заданная проекциями каркаса состоящих из образующих линий l и направляющей n. 2. Проекция линии m 2,принадлежащей поверхности Ф.
а) модель	б) эпюр
Рисунок 8.17. Линия на поверхности

Алгоритм решения задачи:

1. Находим точки 1 ₂, 2 ₂, 3 _{2 ,} 4 ₂ пересечения проекции линии m₂ с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий l ¹₂, l ²₂, l ³₂, l ⁴₂.

2. По линиям связи находим проекции точек 1 ₁, 2 ₁, 3 ₁, 4 ₁, как точки лежащие на проекциях образующих каркаса соответственно l ¹₁, l ²₁, l ³₁, l ⁴₁ и определяющих положение проекции линии т₁ на поверхности Ф.

12.

Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А₂В₂ проведена фронтально-проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник в точках M и N. На фронтальной плоскости проекций (π₂) эти точки представлены проекциями M₂, N₂. Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π₁) находятся горизонтальные проекции полученных точек M₁ N₁. В пересечении горизонтальных проекций прямых А₁В₁ и M₁N₁ образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К₁). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К₂).

.

Рис. 3.11. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости

Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.

На плоскости π₂ рассмотрены две точки N EF и 1 АВ. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (Y_N>Y₁), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К₁) закрыта плоскостью DEF на плоскости π₂ (ее проекция К₂1₂ показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π₁.

13.

?

14.

Проецирование прямого угла

Решение многих задач Начертательной геометрии связано с необходимо-

стью построения на чертеже взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей.

Базой для этого служит умение строить прямые углы на комплексном чертеже.

Рисунок 5.3 - Проецирование прямого угла

Известная в теории чертежа теорема (приведем ее без доказательства) ут-

верждает, что прямой угол (в соответствии с рисунком 5.3) проецируется на

соответствующую плоскость проекций без искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, а вторая - ей не перпендикулярна.

15.

Длину отрезка АВ и a - угол наклона отрезка к плоскости П₁ можно определить из прямоугольного треугольника АВС | AС |=| A ₁ B ₁|, | BС |=DZ. Для этого на эпюре (рис.31) из точки B ₁ под углом 90⁰ проводим отрезок | B ₁ B ₁*|=DZ, полученныйв результате построений отрезок A ₁ B ₁ * и будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол B ₁ A ₁ B ₁*=a. Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника. Тот же результат можно получить при вращении треугольника АВС вокруг стороны AС до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П ₁, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Подробнее вращение вокруг оси параллельной плоскости проекций рассмотрены в разделе «Методы преобразования ортогональных проекций

а) модель	б) эпюр
Рисунок 31. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к горизонтальной плоскости проекций

Длину отрезка АВ и b -угол наклона отрезка к плоскости П₂ можно определить из прямоугольного треугольника АВС | AС |=| A ₂ B ₂|, | BС |=DY. Построения аналогичные рассмотренным, только в треугольнике АВВ *

сторона |BВ * |=DU и треугольниксовмещается с плоскостью П ₂ (рис.32).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 32. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к фронтальной плоскости проекций

16.

Две (различные) прямые на плоскости либо пересекаются, т. е. имеют одну общую точку, либо параллельны, т. е. не имеют общих точек.

Свойство параллельности прямых обозначается символом «∥»; например, .
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой.
Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Признаки параллельности прямых. Две прямые параллельны, если: 1) каждая из них параллельна третьей; 2) они пересечены третьей и внутренние накрест лежащие углы равны; 3) они пересечены третьей прямой и сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Две прямые перпендикулярны (ортогональны), если, пересекаясь, они образуют прямые углы.
Свойство перпендикулярности обозначают символом «⊥»; например, .

17.

Признаки параллельности плоскостей:

1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

2) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

18.

Признаки параллельности прямой и плоскости:

1) Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

2) Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признаки перпендикулярности прямой и плоскости:

1) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

9.

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальныйa_П1; - фронтальный a_П2; - профильный a_П3).

2. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (a ^П₁), называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рис.46).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 46. Горизонтально проецирующая плоскость

2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (a^П ₂)- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости a является прямая линия, совпадающая со следом a_П2 (рис.47).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 47. Фронтально проецирующая плоскость

2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости (a^П ₃) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость (рис.48).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 48. Биссекторная плоскость

3. Плоскости, параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельна исследуемая плоскость, различают:

3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (a//П ₁) - (a^П₂,a^П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П ₁ без искажения, а на плоскости П₂ и П₃ в прямые - следы плоскости a_П2 и a_П3 (рис.49).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 49. Горизонтальная плоскость

3.2. Фронтальная плоскость - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (a//П₂), (a^П₁, a^П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П ₂ без искажения, а на плоскости П ₁ и П ₃ в прямые - следы плоскости a_П1 и a_П3 (рис.50).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 50. Фронтальная плоскость

3.3. Профильная плоскость - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (a//П₃), (a^П₁, a^П₂). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П ₃ без искажения, а на плоскости П₁ и П₂ в прямые - следы плоскости a_П1 и a_П2 (рис.51).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 51. Профильная плоскость

10.

Прямые уровня - это прямые, принадлежащие плоскости и параллельные какай - либо плоскости проекций. Эти прямые называют прямыми уровня, так как они принадлежат плоскости уровня. Существует три вида прямых уровня:

• h - горизонталь плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₁;
• f - фронталь плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₂;
• w - профильная прямая плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₃.

Прямая, принадлежащая плоскости и к горизонтали, фронтали или профильной прямой, называется линией наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций П₁, П₂ или П₃. Линию наибольшего наклона к плоскости проекций П₁ называют линией наибольшего ската.

Прямые уровня и линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций называют главными линиями плоскости.

11.

Под позиционными задачами будем понимать задачи по определению общих элементов геометрических фигур. К ним относятся задачи на принадлежность и задачи на пересечение геометрических фигур.

Принадлежность точки прямой: Если точка принадлежит прямой, то на эпюре одноименные проекции этой точки принадлежат одноименным проекциям этой прямой.

Точка А принадлежит прямой a
Точка В не принадлежит прямой а

Принадлежность точки, прямой плоскости

Для определения принадлежности точки и линии поверхности рассмотрим следующие позиционные задачи:

Задача Построение линии принадлежащей поверхности, если одна из проекций линии задана (рис. 8.17).

Дано: 1.Поверхность Ф, заданная проекциями каркаса состоящих из образующих линий l и направляющей n. 2. Проекция линии m 2,принадлежащей поверхности Ф.
а) модель	б) эпюр
Рисунок 8.17. Линия на поверхности

Алгоритм решения задачи:

1. Находим точки 1 ₂, 2 ₂, 3 _{2 ,} 4 ₂ пересечения проекции линии m₂ с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий l ¹₂, l ²₂, l ³₂, l ⁴₂.

2. По линиям связи находим проекции точек 1 ₁, 2 ₁, 3 ₁, 4 ₁, как точки лежащие на проекциях образующих каркаса соответственно l ¹₁, l ²₁, l ³₁, l ⁴₁ и определяющих положение проекции линии т₁ на поверхности Ф.

12.

Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А₂В₂ проведена фронтально-проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник в точках M и N. На фронтальной плоскости проекций (π₂) эти точки представлены проекциями M₂, N₂. Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π₁) находятся горизонтальные проекции полученных точек M₁ N₁. В пересечении горизонтальных проекций прямых А₁В₁ и M₁N₁ образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К₁). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К₂).

.

Рис. 3.11. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости

Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.