Производные от произведений

Выше мы познакомились с рядом дифференциальных операций над векторами и скалярами: образование градиента скаляра (1.6), дивергенции вектора (1.14), ротора вектора (1.23) и т. д. При применении векторного анализа приходится встречаться еще с целым рядом других дифференциальных выражений.

Оперирование этими выражениями может быть упрощено и уложено в простую и стройную схему введением в рассмотрение символического дифференциального оператора Гамильтона. Этот оператор Набла обозначается знаком и в декартовой системе координат он имеет вид:

(1.24)

где i, j, и k — единичные векторы по осям х, у, z. Иными словами, есть векторный оператор.

Этот векторный оператор соответствует в векторном анализе знаку производной обычного анализа. Подобно тому, как в обычном анализе дифференциал функции можно считать произведением оператора дифференцирования d на дифференцируемую функцию, так путем умножения скаляров и векторов, являющихся функциями точки, на оператор мы получаем пространственные производные этих величин.

Так, например, произведение скаляр φ нужно, очевидно, положить равным

Стало быть, согласно (1.6),

(1.25)

Таким образом, действительно может быть названа пространственной производной от φ, ибо вектор gradφ вполне характеризует изменения, испытываемые скаляром φ при перемещении «точки наблюдения»

Рис. 1.8. Плоскость изменения потенциала.

(т.е. при изменении координат х, у, z). Подобно этому, и другие выражения, включающие в себя оператор , тоже характеризуют собой те или иные соотношения между значениями скалярных и векторных функций в смежных точках пространства.

С известными ограничениями, о которых будет сказано ниже, можно образовывать произведения с другими векторами и скалярами так, как если бы был истинным, а не символическим вектором. Как и при использовании дифференциала, при этом предполагается, что оператор «действует» лишь на те величины, которые стоят вправо от него.

Так, например, скалярное произведение символического вектора с произвольным вектором а, равно:

Помимо скалярного произведения символического вектора на вектор а, можно образовать и векторное произведение этих векторов, которое, как легко видеть, представляет собой ротор вектора а:

[ × a ]= = rot a (1.26)

Так, например, компонента вектора [ ] по оси x равна

[ ] _x =

Применение оператора весьма упрощает нахождение вторых и старших производных от скалярных и векторных величин. Так, например, квадрат вектора равен:

Поэтому, раскрывая смысл произведения ( φ) по правилам векторной алгебры:

b(b φ) = b² φ,

получим

div grad φ = (1.27)

В справедливости этого равенства можно убедиться непосредственным вычислением с помощью формул (1.5) и (1.11):

div grad φ =

Совершенно иной смысл имеет выражение grad div а:

grad div a =

Оно вовсе не равно , подобно тому как при оперировании с обычными векторами

b (ba) ≠ b² a.

Выражение же имеет, очевидно, следующий смысл:

(1.28)

т. е. представляет собой вектор, слагающая которого, например, по оси х равна:

(1.29)

Конечно, и a нельзя смешивать с ()² и ( а)²; так, например,

Известные формулы векторной алгебры

[ b (b φ)] = 0, b [ ba ] = 0, [ b [ ba ]] = b (ba) – (bb) a,

остаются справедливыми и при замене вектора b символическим вектором (при любых а и φ):

[ ( φ)] = [ gradφ] = rot gradφ = 0,

[ a ] = rot a = div rot a = 0, (1.30)

[ [ a ]] = ( a) + ² a, или rot rot a = grad div a - ² a.

В справедливости этих соотношений легко убедиться непосредственным вычислением в декартовых координатах. Так, например,

div rot a = Итак, поскольку оператор входит сомножителем в произведения, содержащие в себе лишь один-единственный истинный скаляр или вектор; поскольку произведения эти можно преобразовать по обычным правилам векторной алгебры. Однако, если в произведение входят два или несколько истинных скаляров или векторов, то правила эти становятся неприменимыми и нуждаются в видоизменениях. То же самое имеет место и в обычном анализе при символическом умножении алгебраических величин на знак дифференциала d: подобно тому как

так и в случае умножения произведения скаляров или векторов на операция дифференцирования должна быть выполнена над каждым из сомножителей в отдельности. Так, например, при дифференцировании произведения двух скаляров или скаляра и вектора получаем:

(φψ) = ψ φ +φ ψ = grad(φψ) = ψgradφ + φgradψ,

(φ a) = φ( a) + a ( φ) = div(φ a) = φdiv a + a gradφ, (1.31)

[ (φ a)] = φ[ a ] + [( φ) a ] = rot(φ a) = φrot a + [gradφ a ].

В справедливости этих соотношений можно убедиться непосредственным вычислением. Несколько сложнее обстоит дело при скалярном дифференцировании произведения двух векторов. Обратимся, прежде всего, к выражению [ ab ] = div[ ab ].

Для обычных векторов справедливы соотношения

с [ ab ] = b [ са ] = - а [ сb ].

При замене вектора дифференциальным оператором можно предположить, что [ аb ] должно быть приравнено к сумме выражений

b [ a ] и - a [ b ],

ибо в обычном анализе производная от произведения равна сумме двух членов, в каждом из которых дифференцированию подвергается лишь один из сомножителей. Действительно, непосредственным вычислением можно убедиться, что

[ ab ] = b [ a ] – a [ b ] = div[ ab ] = b rot a – a rot b.

Как известно, при вычислении произведения с (аb) трех векторов необходимо выполнить скалярное перемножение векторов а и b прежде умножения их на с. Соответственно этому и выражение

(ab) = grad(ab)

не может быть представлено в виде суммы двух членов, в каждом из которых дифференцируется лишь один из сомножителей. Можно показать далее, что такого рода преобразование невыполнимо также и по отношению к выражению

[ [ ab ]] = rot[ ab ].

Оба эти выражения могут быть, однако, представлены в виде суммы четырех членов, в каждом из которых диффенцированию подвергается лишь один из векторов а и b. Соответствующие формулы имеют вид:

grad(ab) = (b ) a +(a ) b +[ b rot a ] +[ a rot b ], (1.32)

rot[ ab ] = (b ) a – (a ) b + a div b – b div a. (1.33)