Векторные и скалярные поля. Градиент

Векторным или скалярным полем называется область пространства, каждой точке которой отнесено значение некоторого вектора или скаляра. Поскольку каждая точка поля определяется ее радиус-вектором R, задание векторного или скалярного поля эквивалентно заданию некоторой векторной функции a(R) или соответственно скалярной функции φ(R). Функции a(R) и φ(R) могут, конечно, зависеть, помимо от R, также и от каких-либо скалярных аргументов, например, времени. Функции a(R) и φ(R) мы будем считать непрерывными и дифференцируемыми относительно всех их аргументов.

Рассмотрим скалярное поле функции φ(R) = φ(x, y, z). Таким полем является, например, поле температуры неравномерно нагретого тела (φ= T), поле плотности неоднородного тела (φ= τ), поле электростатического потенциала и т. п.

Пусть скаляр φ имеет в точке Р₀ значение φ₀ и при перемещении ds по направлению вектора s мы приходим из точки P₀ в точку Р, где скаляр φ имеет значение φ_s. Приращение φ при этом перемещении равно d φ= φ_s – φ ₀. Предел отношения этого приращения d φ к численной величине перемещения ds обозначается через и является производной скаляра φ в точке Р₀ по направлению s:

. (1.1)

Очевидно, что значение этой производной существенно зависит от выбора направления s и что ее ни в коем случае нельзя смешивать с обыкновенной частной производной по скалярному параметру s.

Для изучения зависимости производной от направления дифференцирования s рассмотрим те точки поля, в которых φ имеет одинаковое значение, равное, например, φ ₀. Совокупность этих точек, вообще говоря, образует собой поверхность, которая называется поверхностью уровня, или эквипотенциальной поверхностью. Помимо участков пространства, в которых φ = const, исключение могут составлять те изолированные точки поля, в которых значение φ достигает максимума или минимума. Аналитически поверхность эта характеризуется уравнением = φ(x, y, z). На рис. 1.1 изображен в сечение плоскости чертежа ряд поверхностей уровня, соответствующих значениям скаляра φ, равным . ± , ± 2 и т. д. В поле точечного заряда или заряженного шара поверхности уровня электростатического потенциала представляют собой концентрические сферы, в поле заряженного бесконечного цилиндра—коаксиальные цилиндры и т. д. Вообще же в более сложных случаях последовательные эквипотенциальные поверхности различны не только по своему положению и размерам, но и по своей форме. Однако, во всяком случае, поверхность каждого проводника является эквипотенциальной поверхностью, ибо потенциал проводника в электростатическом поле постоянен на всем его протяжении.

Рис. 1.1. Пример сечения эквипотенциальных поверхностей.

Обозначим через n нормаль к поверхности уровня φ = φ₀, направленную в сторону φ, и покажем, что, зная производную по направлению этой нормали, можно определить значение производной скаляра φ по любому направлению s.

Пусть поверхность уровня, проходящая через лежащую в направлении s точку Р_s, пересекает нормаль n (или ее продолжение в обратном направлении) в точке Р_n. Значение φ в точке, Р_n равно значению φ в точке P_s (φ _n = φ_s) и

Поэтому

.

Таким образом,

(1.2)

Вектор, численно равный и направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания φ, носит название градиента скаляра φ:

grad φ= . (1.3).

Поэтому уравнение (1.2) может быть написано так:

. (1.4)

Рис. 1.2. Направление градиента.

Стало быть, производная φ по направлению s равна проекции вектора градиента φ на направление s. Если, в частности, ввести систему декартовых координат х, у, z, оси которой направлены параллельно единичным векторам i, j, k, то, согласно уравнению (1.4), получим:

(1.5)

|grad φ| = (1.6)

Из уравнения (1.4) следует, как это, впрочем, и непосредственно явствует из рис. 1.2, что направление градиента n есть направление наиболее быстрого возрастания скаляра φ, а направление (— n) есть направление наиболее быстрого убывания φ. В направлениях же, перпендикулярных к n, т. е. касательных к поверхности уровня, значение φ вовсе не изменяется.

Чтобы наглядно изобразить зависимость значения производных φ от направления, проведем из данной точки Р₀ два равных и противоположных вектора grad φ и — grad φ и опишем вокруг каждого из них, как вокруг диаметра, шаровые поверхности S и S ' (рис. 1.3). Тогда абсолютная величина производной в точке Р₀ по произвольному направлению s изобразится отрезком Р₀ Р_s луча, проведенного из Р₀ в направлении s, ибо угол Р₀Р_s N равен 90°, и

Р₀Р_s = Р₀N cos(s, n) = gradφ cos(s, n)

Аналогичное соотношение справедливо и для того случая, когда s направлено в сторону шаровой поверхности S'. Поверхность, касательная к сферам S и S' в точке Р₀, есть, очевидно, поверхность уровня.

Итак, если известно поле скаляра φ, то в каждой точке этого поля можно определить вектор gradφ, перпендикулярный к поверхностям уровня этого скаляра. Если провести систему ортогональных траекторий поверхностей уровня, т. е. систему линий, перпендикулярных к этим поверхностям (на рис. 1.2 эти линии обозначены пунктиром), то в каждой точке поля направление градиента будет совпадать с направлением этих линий. Поэтому ортогональные траектории поверхностей уровня носят название линий градиента.

Если проводить поверхности уровня так, чтобы значение φ на последовательных поверхностях возрастало в арифметической прогрессии, т. е. равнялось бы φ₀, φ₀±Δφ, φ₀±2Δφ и т. д. (рис. 1.1), то расстояния смежных поверхностей уровня при достаточно малом Δφ будут обратно пропорциональны численным значениям градиента. Действительно, если измеренное по нормали расстояние между смежными поверхностями уровня обозначить через Δn, то из приближенного соотношения

Рис. 1.3. Схема направлений градиентов.

Δφ = Δn = gradφ Δn

при постоянном Δφ следует:

gradφ = .

Поэтому при указанном способе черчения поверхностей уровня густота их расположения дает приближенное представление о численной величине градиента.

Заметим также, что если скаляр φ выражен в функции от другого скаляра ψ, являющегося функцией точки [φ = f(ψ)], то при любом выборе направления дифференцирования s

grad _s φ = grad _s ψ,

так как

grad φ = grad ψ, (1.7)

что следует из формулы обычного дифференцирования функции от функции.