Геометрический смысл смешанного произведения векторов

Пусть даны векторы a, b, c, которые не лежат в одной плоскости.

d Построим на них параллелепипед:

C

j c a = OA b = OB c = OC

O B

B d = a x b êd ê= S_осн – площадь основания.

a

A V = Sосн * H объем тела. H – высота.

H = Пр_d c проекция вектора с на вектор d, который перпендикулярен плоскости основания.

Объем Vn = ê d ê * Пр_d c = d * c = (a x b) * c = a * b * c, если Ðj острый.

Если Ðj - тупой, то Vn = ê a * b * c ê - модуль смешанного произведения.

Теорема (условие компланарности 3-х векторов):

Три вектора a, b, c – компланарны a * b * c = 0

Доказательство:

1. Необходимость: Допустим, что a, b, c – компланарны, т.е. все находятся в одной плоскости.

d = a x b

d будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат a и b,

тогда c ^ d, т.к. c лежит в той же плоскости, что и a и b

поэтому: (a x b)* c = 0

2. Достаточность: Пусть a * b * c = 0 - исходное условие.

Пусть a, b, c - некомпланарны, т.е. они не лежат в одной плоскости.

Однако объем параллелепипеда равен нулю, а это возможно лишь в том случае, когда все линии его граней лежат в одной плоскости.

Откуда a, b, c - компланарны, что и требовалось доказать.