Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением векторов a и b является такой вектор c, для которого выполняются следующие условия:

1) Длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b

2) c перпендикулярен a и c перпендикулярен b, c^a; c ^b

3) вектор c направлен таким образом, чтобы кратчайший поворот от вектора a к вектору b происходил против часовой стрелки, при условии, что мы наблюдаем с конца вектора c. В этом случае говорят, что векторы a, b, c, образуют правую тройку векторов.

c

b

a

Свойства векторного произведения:

1) a x b = - b x a 2) l*a x b = l*(a x b)

3) (a + b) x c = a x c + b x c 4) a x b = 0 a êê b

Следствия из данных свойств:

1) i x j = j x j = k x k = 0;

2) i x j = k, j x i = - k, k x i = j, i x k = - j,

j x k = i, k x j = - i;

3) a = a_x *i + a_y*j + a_z *k, b = b_x *i + b_y *j + b_z *k,

a x b = a_x*b_x* i x i + a_x*b_y* i x j + a_x*b_z* i x k + a_y*b_x* j x i + a_y*b_y* j x j

+ a_y*b_z* j x k + a_z*b_x* k x i + a_z*b_y* k x j + a_z*b_z* k x k =

= a_x*b_y* k - a_x*b_z* j - a_y*b_x* k + a_y*b_z* i + a_z*b_x* j - a_z*b_y* i =

= (a_y*b_z - a_z*b_y) * i + (a_z*b_x - a_x*b_z) * j + (a_x*b_y - a_y*b_x) * k =

i j k

= a_x a_y* a_z

b_x b_y b_z

Пример: a = (3; -1; 2),, b = (- 2; 3; -5)

- 1 2 3 2 3 - 1

a x b = 3 - 5 * i - - 2 - 5 * j + 2 3 * k

= -1* i + 11* j + 11* k