Решение систем линейных уравнений матричным способом

Рассмотрим систему:

а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+а₁₃*х₃=b₁

а₂₁*х₁+а₂₂*х₂+а₂₃*х₃=b₂

а₃₁*х₁+а₃₂*х₂+а₃₃*х₃=b₃

Данную систему можно записать в матричной форме следующим образом:

A*X=B где А- основная матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных

X – матрица-столбец, составленная из неизвестных

B – матрица-столбец, составленная из свободных членов.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ x₁ b₁

A = a₂₁ a₂₂ a₂₃, X = x₂, B = b₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ x₃ b₃

Теорема: Если матрица А невырожденная, т.е. ее определитель DА отличен от нуля, то наша система имеет единственное решение, которое можно записать следующим образом:

X=A^-1*B

Доказательство:

Т.к. матрица А имеет определитель отличный от 0, то для нее существует обратная матрица А^-1 . Нашу систему мы записали в матричной форме. Домножим обе части системы слева на матрицу А^-1.

A^-1*A*X=A^-1*B, тогда Е*X= A^-1*B или

X= A^-1*B теорема доказана

Пример:

2*x₁ +3*x₂ = 5 2 3

x₁ - x₂ = 0 X=A^-1*B DA = 1 -1 = -5;

A₁₁ = -1 A₁₂=-1 A₂₁=-3 A₂₂=2

-1 -3

A^-1 = -(1/5) * -1 2

-1 -3 5 -5 -0 -5

X = -(1/5) * -1 2 * 0 = -(1/5) * -5 0 = -(1/5) * -5 =

1 x₁ = 1

= 1; x₂ = 1