Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением трех векторов , и называется скалярное произведение

Смешанным произведением трех векторов , и называется скалярное произведение . Из определений скалярного и векторного произведений следует, что если все три вектора , и , участвующие в смешанном произведении, лежат в одной плоскости, то .

Если координаты векторов , и равны, соответственно, , и , то смешанное произведение вычисляется с помощью определителя третьего порядка: .

5. Векторы произвольной размерности.

По аналогии с двумерными и трехмерными векторными пространствами рассматривают векторные пространства размерности , где – произвольное натуральное число. Такой вектор уже не изобразишь графически, и представляет он собой упорядоченный набор из координат: . При записи многомерного вектора верхнюю стрелку над буквой не изображают.

-мерные векторы можно умножать на число: , складывать: и скалярно умножать друг на друга: . Пространство векторов, в котором заданы такие операции, называется евклидовым пространством. Аналогом длины вектора в таком пространстве является норма вектора, которая равна .