Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов и является вектор , обладающий следующими свойствами:

1) его длина равна произведению длин двух векторов на синус меньшего угла между ними,

2) он перпендикулярен плоскости, в которой лежат оба исходных вектора, а значит, перпендикулярен каждому из исходных векторов,

3) его направление выбрано так, что векторы , и составляют правую тройку. То естьесли направить средний палец правой руки по вектору , а большой – по вектору , то указательный примет направление вектора .

Обозначение векторного произведения: или . Из определения имеем: , , . Кроме того, справедливы свойства и .

Нетрудно заметить, что .

Запомнить, какой орт получается как векторное произведение двух других ортов, легко, если пользоваться следующей схемой.

Если при движении от первого в векторном произведении вектора ко второму мы движемся против часовой стрелки, результатом векторного произведения будет третий вектор со знаком +, если по часовой стрелке, то третий вектор со знаком –.

Представляя векторы и с координатами, соответственно, и в виде разложения по базису , и пользуясь свойствами векторного произведения, получим:

.

Запомнить векторное произведение в координатной форму проще всего с применением определителя:

.

В правой части последнего равенства находится определитель третьего порядка.

Из определения векторного произведения следует, что векторное произведение двух ненулевых векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и параллельны.