Связь законов сохранения с симметриями

Пусть

Рассмотрим эрмитов оператор () такой, что

, .

Построим однопараметрическое семейство операторов

(a) = e ^ia .

Из эрмитовости следует унитарность (a):

= e ^ia e^{- ia} = .

Из коммутативности с следует коммутативность с :

(a) = (a) ,

откуда, умножая слева на и используя унитарность, найдем

(a) (a) = .

Таким образом, после совершения унитарного преобразования гамильтониан остается неизменным:

= .

Это и означает (собственно по определению), что в системе есть симметрия.

Важно, что все рассуждения можно обратить. Если (a) - унитарное однопараметрическое преобразование, сохраняющее гамильтониан, то существует сохраняющаяся наблюдаемая, оператор которой находится как

= .

Этот оператор эрмитов и коммутирует с гамильтонианом:

, .

Пример. Рассмотрим систему с одной степенью свободы (координата x) и в качестве возьмем оператор импульса:

= = - i i Þ (a) = e ^{i/ i a} = e ^{a d/d x} .

Посмотрим, как он действует на волновую функцию:

(a)y (x) = e ^{a d/d x} y() = y(x) = .

Но справа стоит разложение функции y (x+a) в ряд Тейлора по a. Таким образом, оператор (a) есть оператор трансляции на a:

y (x) = y (x+a).

Очевидно, что оператор ⁺(a) есть оператор трансляции на - a:

⁺(a) y (x) = y (x-a).

В результате рассматриваемого преобразования операторы наблюдаемых переходят в

= ⁺(a) (a).

Найдем в явном виде, считая, что = (x). Имеем:

= y (x) (x) (a) y (x) = ⁺(a)( (x) y (x+a)) º ⁺(a)j (x) =

= j (x-a) = (x - a) y (x):

⁺(a) (x) (a) = (x - a).

Если же = (), то он коммутирует с (a), а потому не меняется:

⁺(a) () (a) = ().

Обратные рассуждения (более важные) таковы. Пусть система трансляционно инвариантна. Это значит, что

= ⁺(a) (a) = .

Так как

(x),

то

= (x - a).

Инвариантность означает, что

U (x - a) = U (x),

т.е. потенциальная энергия не зависит от x. Она есть константа, которую можно положить равной нулю. Тем самым в данном случае результат получается достаточно тривиальным: трансляционно инвариантной является система, состоящая из одной свободной частицы. Сохраняющейся величиной будет

= = ,

что в данном случае приводит к закону сохранения импульса.