Законы сохранения

В картине Шредингера затруднительно сразу сказать, что такое сохраняющаяся физическая величина, так как операторы наблюдаемых обычно вообще от времени не зависят. Приходится исхитряться (см. ниже). А в картине Гейзенберга все ясно.

Если

_Г(t) = , Þ _Г (t) = const,

то - интеграл движения (точнее, интегралом движения является величина, описываемая этим оператором). Из уравнения Гейзенберга сразу следует необходимое и достаточное условие сохранения наблюдаемой F:

Особенно просто все выглядит в наиболее типичном случае, когда

.

В этом случае сохранение наблюдаемой F равнозначно коммутативности ее оператора с гамильтонианом, причем безразлично, в какой картине:

: = Û = ,

это условия сохранения.

Кстати, если

, = ,

то

.

Важный частный случай:

· Если гамильтониан системы не зависит явно от времени, т.е. = , то энергия сохраняется.

Это очевидно, так как гамильтониан коммутирует сам с собой. Еще один важный результат:

· Если гамильтониан не зависит от времени, и величина F сохраняется, то она совместно измерима с энергией.

Это тоже очевидно, так как условие = как раз и равнозначно совместной измеримости наблюдаемых. В такой ситуации можно построить систему общих собственных векторов наблюдаемых H и F. Но собственные векторы описывают стационарные состояния системы. Значит, стационарные состояния будут квалифицироваться еще и собственными значениями оператора . Идеальной является ситуация, когда мы умудримся построить полный набор сохраняющихся наблюдаемых. Тогда классификация стационарных состояний будет исчерпывающей. В частности, именно так классифицируются стационарные состояния атома водорода. Задаются: главное квантовое число (номер стационарного состояния, определяющий энергию), азимутальное квантовое число (орбитальный момент импульса), магнитное квантовое число (проекция орбитального момента импульса) и спиновое квантовое число (проекция спина). Но об этом подробнее потом, а сейчас так, для понимания важности обсуждаемых проблем.

Итак, в картине Гейзенберга скорость изменения фазовой величины F задает

_Г(t)

А как в картине Шредингера? Ведем здесь новый оператор

,

который не равен , т.е. , ибо чаще всего последняя величина в картине Шредингера есть просто 0. Для выяснения смысла нового оператора найдем скорость изменения среднего значения наблюдаемой F в состоянии y, пользуясь в промежуточных выкладках уравнением Шредингера:

á F ñ_y (t) = (y_ш(t),

_ш y_ш(t)) = ( y_{ш, ш}y_ш) + (y_{ш, ш}y) + (y_ш, _ш y_ш) =

= (1/ i i _шy_ш, _шy_ш) + (y_{ш ш} y_ш) + (y_{ш ш} 1/ i i _ш y_ш) =

= -1/ i i(y_ш, _{ш ш} y_ш) + (y_ш, _ш y_ш) + 1/ i i(y_ш, _{ш ш} y_ш) =

= (y_ш, _ш y_ш)+ i /i(y_ш, X _ш y_ш).

Таким образом,

á F ñ_y (t) =

В этом смысле оператор и описывает скорость изменения величины F - он задает скорость изменения ее среднего значения.