Матричное представление

Возьмем какой-то эрмитов оператор и поставим задачу на собственные значения:

|j _n ñ = A_n |j _n ñ.

Допустим, что спектр - чисто дискретный. Это значит, что собственные векторы образуют ортонормированный базис:

(j _n, j _m) = d _nm Û áj _n |j _m ñ = d _nm,

|j _n ñáj _n | = .

Любой вектор |yñ можно разложить по этому базису:

|yñ = y _n |j _n ñ,

где дискретная последовательность коэффициентов Фурье

y _n = áj _n |yñ

будет однозначно задавать состояние y.Расположим числа y_nв матрицу - столбец:

|yñ = .

Она и представляет вектор состояния |yñ. Образуем эрмитово сопряженную матрицу, которая будет матрицей - строкой с компонентами

= áj _n |yñ^* = áy|j _n ñ = y^* _n.

Она будет представлять совектор áy|:

áy| = (y^*₁, y^*₂,...).

С использованием условия полноты |j _n ñáj _n | = скалярный квадрат запишется как

áy |y ñ = áy | j _n ñá j _n |yñ = |y _n |².

Если вектор |y ñ нормирован, т.е. áy |y ñ = 1, то сумма также равна 1, т.е. ряд сходится.

Рассмотрим теперь некоторый оператор ,который действуя на |y ñ переводит его в :

= |y ñ.

Умножая скалярно на á j _n | и пользуясь условием полноты, найдем:

á j _n | y ñ = á j _n | |y ñ = á j _n | | j _m ñá j _m |y ñ,

или

= F_nm y _m,

где введена матрица оператора:

F_nm º á j _n | |j _m ñ.

Оператор переводит |yñ в , а матрица F_nm переводит компоненты y_nвектора|yñв компоненты вектора . Если оператор эрмитов, то и его матрица эрмитова:

F_nm = (F_mn)^*.

Среднее значение оператора в состоянии y теперь вычисляется так:

á F ñ = = ,

т.е.

á F ñ = F_nm y^* _n y _m.

Рассмотрим теперь другое представление, порожденное оператором :

| j^R _n ñ = B_n | j^R _n ñ, á j^R _n | j^R _m ñ = d _nm, | j^R _n ñá j^R _n | = .

Векторы |yñ в нем представляются другими волновыми функциями:

y^R _n = á j^R _n |yñ,

а операторы - другими матрицами:

.

Но так как оба базиса - ортонормированные, то волновые функции и матрицы операторов в обоих представлениях связаны унитарным преобразованием:

y^R _n = U_nm y _m, F ^R _nm = U_{nn R} F_{n R m R} U ⁺ _{m R m}.

Раньше мы формулировали эти утверждения на языке операторов.

Найдем шпур (след) матрицы оператора в B -представлении:

= , (U⁺U = ),

т.е. шпур матрицы инвариантен относительно унитарного преобразования - не зависит от выбора представления.

Задача на собственные значения оператора

|yñ = F |yñ

в матричном A -представлении ставится как

(F_nm - F d _nm)y _m = 0.

Система однородных линейных уравнений для определения y_m имеет нетривиальные решения при условии

det C F_nm - F d _nm C = 0

Это вековое или характеристическое уравнение является алгебраическим. Его решения F ₁, F ₂,... F_k... есть искомые собственные значения. Подставляя каждое из них в систему уравнений, найдем последовательности

F ₁: y⁽¹⁾_1, y⁽¹⁾_2,... y⁽¹⁾ _{n ,}..._..

F ₂: y⁽²⁾₁, y⁽²⁾₂,... y⁽²⁾ _n...

..............................................................

представляющие собственные векторы |y^{( n )}ñ, т.е. являющиеся их волновыми функциями.

Если в качестве базисных векторов выбрать собственные векторы |y _n ñ оператора , то его матрица будет диагональной:

F_nm = áy _n | |y _m ñ = áy _n | F_m |y _m ñ = F_m áy _n |y _m ñ = F_m d _nm

Таким образом, решение задачи на собственные значения оператора равнозначна диагонализации его матрицы: находимUy _n ñ, устанавливаем унитарное преобразование, связывающее Uy _n ñ с Uj _n ñ, и совершаем это унитарное преобразование над исходной матрицей F_nm. В результате и получим диагональную матрицу.

Все те же операции можно проделать и в случае, когда спектр оператора - непрерывный, но все надо понимать в обобщенном смысле. Базис образуют обобщенные собственные векторы:

|c _A ñ = A |c _A ñ, ác _A |c _B ñ = d(A - B), òd A |c _A ñác _A | = .

Волновая функция

y () = ác _A |yñ

есть «настоящая» функция, ибо зависит от непрерывного аргумента. Если оператор переводит вектор |yñ в , т.е.

= |yñ,

то для волновых функций имеем:

(A) º ác _A | ñ = ác _A | |yñ = òác _A | |c _{A R}ñ ác _{A R}|yñ,

т.е.

(A) = ò F (A, A ^R)y(A ^R)d A ^R,

где

F (A, A ^R) º ác _A | |c _{A R}ñ

ядро интегрального оператора .

Для произведения двух операторов

получим

F ₁(A, A ^R) = ác _A | _{2 3} |c _{A R}ñ = ác _A | ₂|c _{A RR}ñ ác _{A RR}| ₃|c _{A R}ñ d A ^RR,

т.е. ядро произведения получается как свертка операторов-сомножителей:

F (A, A ^R) = ò F (A, A ^RR) F (A ^RR, A ^R)d A ^RR.

-..-. -. -.

Рассмотрим уравнение Шредингера

i i |yñ = |yñ,

которое для одной частицы во внешнем поле записывается как

i i |yñ = |yñ + V (r)|yñ.

В координатном представлении мы его уже получали:

i i y(r, t) = -i²/2m× Ñ² y(r, t) + (r) y(r, t).

Найдем теперь уравнение Шредингера в импульсном представлении. Нам нужно найти действие оператора , т.е. = и V (r) на волновую функцию (p), которая есть

(p) = ác_p|yñ.

Для ядра оператора V имеем

W (p,p ^R) = ác _p | |c _pR ñ = (c _p (r), V (r)c _{p R} (r)),

где c _p (r) - собственные функции оператора импульса в координатном представлении:

c _p (r) = .

Подстановка дает:

W(p,p ^R) = ,

т.е. ядро W получается из V путем преобразования Фурье:

W(p,p ^R) = .

Для оператора кинетической энергии имеем:

K (p, p ^R) = - i²/2m×(c _p (r),Ѳc _p (r ^R)) = - i²/2m× =

= - i²/2m× = p ²/2m×d(p - p ^R):

K (p, p ^R) = p ²/2m×d(p - p ^R).

Подставляем все это в уравнение Шредингера в импульсном представлении:

i i .

Получаем:

i i ,

т.е.

i i ,

где

W (p,p ^R) = .

В итоге получилось интегро-дифференциальное уравнение.

Если V (r)есть полином от r ²,т.е. включает сумму членов вида

V_n = a_nr ^{2 n},

то eсть уравнение Шредингера сводится к дифференциальному. Действительно, в этом случае

W_n (p, p ^R) = =

= a_n (-i²Ñ² _p) ⁿ = a_n (-i²Ñ² _p) ⁿ d(p - p ^R);

ò W_n (p, p ^R) (p ^R, t)d p ^R = a_n (-i²Ñ² _p ) ⁿ ò d(p - p ^R) (p ^R, t)d p = a_n (-i²Ñ² _p) ⁿ (p, t);

i i (p, t) = (p ² /2 m + a_n (-i²Ñ² _p ) ⁿ) (p, t).

Важный пример - изотропный гармонический осциллятор, с

V (r)= (w² º k / m).

В координатном представлении уравнение Шредингера записывается как

i i y(r, t) = -i²/2m×Ѳ y(r, t) + (m w² r ²/2)y(r, t).

В импульсном представлении, учитывая, что n = 1 и a = m w²/2, имеем:

i i (p, t) = p²/2 m (p, t) - i² m w²/2Ѳ (p, t)

Уравнения с точностью до переобозначения констант идентичны, а значит идентичны и их решения. Но они, как функции в координатном и импульсном представлениях, должны быть связаны преобразованием Фурье. Поэтому, если не обращать внимания на константы, волновые функции изотропного гармонического осциллятора инвариантны относительно преобразования Фурье: сами функции и их фурье-образы практически совпадают. Таким свойством обладают функции Эрмита и только они, и мы предсказываем волновые функции стационарных состояний осциллятора.