Соотношения неопределенностей

В координатном представлении

= r, = - i i Ñ.

Коммутаторы этих операторов таковы:

= i id _kl

Очевидно, что коммутатор оператора координаты с «чужим» компонентом импульса (скажем, с ) равен нулю. Проверим, что

= i i ( и , аналогично).

Имеем:

y(x) = y - y = x + i i (x y) =

= - i i x + i i x + i i y = i i y,

откуда в силу произвольности y и получаем, что надо.

Итак, коммутатор координаты со «своим» импульсом отличен от нуля. Это накладывает ограничения на дисперсии координаты и импульса в заданном состоянии, называемые соотношениями неопределенностей. Проведем общее рассмотрение для наблюдаемых A и B, записывая

= i ,

где . Операторы и эрмитовы, и множитель i введен для того, чтобы оператор был также эрмитовым (сам коммутатор антиэрмитов). Введем операторы уклонения от среднего значения в заданном состоянии:

º - , º - .

Они эрмитовы и удовлетворяют тому же коммутационному соотношению:

= i .

Дисперсией наблюдаемой A (аналогично B) в состоянии yназывается

D _y(A) º (D A)² .

Задача - получить ограничения на дисперсии наблюдаемых A и B.

Образуем скалярное произведение (D y,D y)и найдем его мнимую часть:

Im(D y, D y) = 1/2 i { (D y, D y) - (D y, D y)^* } =

= 1/2 i {(D y, D y)-(D y, D y)} =

= 1/2 i {(y, D D y)-(y, D D y)} =

= 1/2 i (y, y) = 1/2 i (y, y) = 1/2á C ñ.

Учтем теперь, что модуль мнимой части не больше модуля самого числа, а затем воспользуемся неравенством Коши - Буняковского:

| Im(D y, D y)| £ | (D y, D y ) | £ =

= = º (D A)(D B).

Сравнивая с предыдущим, мы и приходим к общему соотношению неопределенностей:

D A ×D В l 1/2Uá C ñU.

В частности, для координаты и импульса = i , а потому á C ñ = i, и получаем соотношение неопределенностей Гейзенберга:

D x Dp _x l i/2.

Ни в одном состоянии дисперсии координаты и импульса не могут обе быть нулями. Значит x и p _x совместно неизмеримы.