Постановка задачи интерполирования

Пусть некоторая функция Y=f(Х) задана таблицей (табл. 3.1), т.е. при значениях аргумента X = X₀, X₁,..., X_n функция f(Х) принимает соответствующие значения Y₀, Y₁,..., Y_n.

Таблица 3.1

Таблица экспериментальных значений

X	X0	X1	X2	...	Xn
Y	Y0	Y1	Y2	...	Yn

И пусть необходимо определить значение Y=f(X), (X_i-1< < Х_i). Значение Х= попадает между двумя табличными значениями, поэтому для вычисления значения функции необходимо предложить некоторый характер ее изменения между известными значениями.

Интерполирование можно рассматривать как процесс определения для данного аргумента Х значения функции Y= f(X) по ее нескольким известным значениям. При этом различают интерполирование в узком смыс­ле, когда х находится между x₀ и x_n, и экстраполирование, когда х находится вне отрезка интерполирования [ x₀ , x_n ].

Задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [ а,в ] заданы n+1 точки Х₀, Х₁,..., Х_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(X) в этих точках.

f(X0) = Y0; f(X1) = Y1;... f(Xn)=Yn.

(3.1)

Требуется построить функцию Р_n(X) (интерполирующую функцию), которая удовлетворяла следующим условиям:

Pn(X0)=Y0; Pn(X1)=Y1;... Pn(Xn)=Yn,

(3.2)

т.е. интерполирующая функция Р_n(X) должна принимать те же значения, что и искомая (интерпо­лируемая) функция f(X) для узловых значений аргумента Х₀, Х₁,..., Х_n.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y=P_n(X) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек М_i(X_i,Y_i) (i=0,1,2,...,n). Очевидно, можно построить множество непрерывных функций, которые будут проходить через заданные узловые точки.

Замена функции f(х ) ее интерполяционным многочленом Р_n(x) может потребоваться не только тогда, когда известна лишь таблица ее значений, но и когда аналитическое выражение для f(х ) известно, однако является слишком сложным и неудобным для дальнейших математических преобразований (например, для интегрирования, дифференцирования и др.). Иногда рассматриваются задачи тригонометрической интерполяции (интерполирующая функция — тригонометриче­ский полином); интерполирующей может быть также рацио­нальная функция.

В общем случае зависимость, которой подчиняется функция, может быть аппроксимирована многочленом п -ой степени

Рn(X) = Y = А0 + А1∙Х + А2∙Х2 +... + Аn∙Xn

(3.3)

Такую задачу называют задачей параболического интер­полирования (или интерполяции).

3.2. Параболическое интер­полирование

Для определения коэффициентов многочлена (3.3) необходимо располагать n+1 узловой точкой. Аналитическое определение коэффициентов интерполяционного многочлена для n+1 точки сводится к решению системы линейных уравнений n+1 порядка, каждое из которых представляет собой выражение (3.3), записанное для определенной узловой точки

Yi = A0 + A1∙ Xi + A2∙Xi2 +...+ An∙Xin,

(3.4)

где i = 1,2,... n+1

Данным методом построения интерполяционного полинома удобно пользоваться при наличии ЭВМ и соответствующих программ. В библиотеке прикладных программ ХТФ ОПУ имеются программы для решения систем линейных уравнений методами Гаусса и Зейделя (GZ.EXE), которыми можно пользоваться при решении этой задачи.

Изложенный метод не является единственным способом построения интерполяционного полинома. Другой подход, часто используемый на практике, называется методом Лагранжа.