Исследования фракталов в биологии

Фрактальная геометрия дала возможность сжатого математического описания биологических структур и процессов, недоступных для описания языком геометрии Эвклида. «Ученые (я уверен) будут удивлены и восхищены, обнаружив, что немало форм, которые они были вынуждены называть зернистыми, подобными гидре, бородавчатыми, изъязвленными, ветвистыми, похожими на морские водоросли, странными, запутанными, извилистыми, волнистыми, клочковатыми, морщинистыми и тому подобными, отныне могут описываться строгим и точным количественным образом» (Mandelbrot, 1983, p. 5). Живая природа наполнена разнообразными фракталами, красота или невзрачность которых поддается простому и компактному описанию. Фрактальная геометрия уже провозглашена принципом дизайна живых организмов (Weibel, 1991) и может стать универсальным языком для описания и анализа биологических морфопроцессов.

Современные компьютерные технологии дали взможность развития концепций и визуализации образов фрактальной геометрии и динамического хаоса. Фрактальный подход все шире используется в биологии и медицине, охватывая все уровни биологической организации. Язык фрактальной геометрии становится универсальным языком описания и анализа биологического морфогенеза и уже провозглашен принципом дизайна живых организмов (Weibel, 1991).

Применительно к биологическому морфогенезу еще Д Арси Томпсон заметил, что раковина морского ушка Haliotis, головоногого моллюска Nautilus pompilius, закрученные рога копытных – повторение одной и той же структуры с симметрией подобия, в основе которой лежит логарифмическая спираль, или спираль Архимеда (D’Arcy Thompson, 1917).

Общая черта фрактальных ветвящихся структур в живой природе - увеличение площади раздела фаз, максимальное заполнение пространства, что обеспечивает живым организмам максимизацию площади обмена с окружающей средой и соответствующую интенсификацию метаболизма при минимизации общего объема (принцип минимакса). В этом - биологическая функция фрактальных структур, создающих огромное разнообразие биологической формы и функции. Именно фрактальная размерность представляет собой показатель, меру заполнения пространства фрактальной структурой. Фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное; фрактальная плоскость частично выходит в трехмерное пространство. Уже постулировано, что фрактальные структуры обеспечивают добавочное четвертое измерение жизни: хотя живые существа занимают трехмерное пространство, их физиология и анатомия функционируют так, как если бы они были четырехмерными (West et al., 1999).

Исследования фракталов и хаоса в биологии постепенно охватывают все уровни организации живого, от молекул до экосистем. Даже простое и далеко не полное перечисление тематики дает представление о размахе (или пока еще - замахе) исследований фракталов в биологии и биомедицине. Исследования фракталов и хаоса в биологии: на молекулярном уровне это изучение первичной и вторичной структуры ДНК, РНК, белков, других макромолекул и их комплексов, динамики окислительных процессов и т.д. На субклеточном и клеточном уровне исследуются фрактальные свойства пространственной организации мембран, цитоплазмы, ядер, распределения рецепторов и молекул адгезии (одна из вновь открытых молекул клеточной адгезии получила название «фракталкин»), кинетика связывания лигандов с рецепторами, динамика клеточного движения, морфология различных клеток и их ассоциаций. Тканевой уровень фрактальных исследований включает морфологическую организацию и разнообразные гистогенезы в норме и патологии, особенно при онкогенезе. На уровне органов и организма изучается фрактальная организация дыхательной, сосудистой и других систем животных и растений, множество физиологических и поведенческих реакций организма в норме и патологии. Словом, распределение исследований фракталов в биологии само представляет собой быстро растущий и ветвящийся фрактальный кластер.

На основе программ с использованием алгоритмов построения фрактальных структур созданы компьютерные имитационные модели ряда биологических объектов. Итеративная система функций, примененная к определенной матрице изображения, дает достаточно реалистические изображения растительных объектов даже без введения случайных чисел (рис.).

Рис.. Изображение листа папоротника, построенное с помощью детерминированной системы итерированных функций (Кроновер, 2000)

Рис.. Фрактальные растения (Mandelbrot, 1983)

Рис.. Асимметричное фрактальное дерево (Mandelbrot, 1983)

При этом осуществляется значительное сжатие информации: так, для построения листа папоротника использованы 24 параметра вместо сотен тысяч точек, необходимых для передачи того же изображения без использования фрактальной программы (Юргенс и др., 1990). Еще более реалистические изображения можно получить с использованием датчика случайных чисел – при этом деревья перестают быть симметричными, приобретая большее сходство с живым объектом (простейший пример –рис.).

Рис.. Фрактальные деревья, построенные без введения случайных чисел (наверху) и с различной степенью рандомизации

Математическая концепция фрактального скейлинга (масштабной инвариантности) дает новую логику для понимания структуры, формообразования и функционирования биологических систем, генетическое кодирование и механизмы морфогенеза которых могут использоваться повторно и многократно, что обеспечивает сжатость генетической информации.

Итак, для морфологических описаний наряду с обычно используемой классической геометрией Эвклида в биологии и биомедицине все шире применяется язык фрактальной геометрии. Такой подход может быть более адекватным, а иногда и совершенно необходимым для описания биологических объектов и процессов,

поскольку они обладают фрактальными свойствами, характеризуясь фрактальной (дробной) размерностью и масштабной инвариантностью, или самоподобием (Mandelbrot, 1977, 1983; Weibel, 1991, 1993; Metzger, Krasnow, 1999; West et al., 1999; Исаева и др., 2001).

Фрактальная самоорганизация клеток

Морфология клетки, как известно, определяется организацией ее цитоскелета (цитоматрикса) – связного фрактального кластера. Фрактальная геометрия – геометрия иерархических случайных процессов и порождаемых ими структур – применима к описанию клеточной морфологии от субклеточного до надклеточного уровня. Клетки и их комплексы сложной пространственной организации, не поддающейся строгому описанию в традиционных рамках, могут быть количественным образом охарактеризованы путем определения фрактальной размерности (D) – показателя сложности пространственной организации фрактальной структуры, меры заполнения пространства этой структурой. Примером может служить определение фрактальной размерности нерегулярных клеточных ансамблей первичной мезенхимы морского ежа в однослойной культуре клеток.

Морфология мультиполярных клеток первичной мезенхимы с множеством отростков напоминает таковую нейронов и глиальных клеток, значения фрактальной размерности которых (в пределах от 1,25 до 1,75) достаточно точно характеризуют определенные типы этих клеток (Smith, Lange, 1996). Значения фрактальной размерности клеточных ансамблей первичной мезенхимы морского ежа оказались близки к определенным ранее для морфологически сходных клеточных сетей, например, для образцов костного мозга человека, фрактальная размерность которых варьирует в пределах 1,6 – 1,7 (Naeim et al., 1996).

Определение значения фрактальной размерности применено для количественной характеристики морфологических паттернов культивируемых клеток первичной мезенхимы, распластанных по искусственному двумерному субстрату, двумерность морфологии которых определяется плоскостной контактной ориентацией клеток. Культивируемые клетки первичной мезенхимы мультиполярны и образуют многочисленные, нередко ветвящиеся, филоподиальные отростки (рис. 49). Определение фрактальной размерности таких клеток дает значения, варьирующие в пределах 1,5-1,6; в частности, для представленной клетки значение D = 1, 59.

Рис..Мультиполярная клетка и сетчатый синцитий первичной мезенхимы морского ежа (Каретин, Исаева, 2002)

Позже формируются мезенхимные сетчатые ансамбли с многочисленными отростками-«мостиками» (рис.), определение фрактальной размерности которых дает значения D в пределах от 1,74 до 1,76. Так, для представленного изображения участка клеточной сети значение фрактальной размерности D = 1,74. Таким образом, в процессе цитодифференциации значение фрактальной размерности как количественный показатель сложности пространственной организации, степени расчлененности элементов мезенхимы и заполнения ими двумерного пространства, возрастает. В данном случае определение значения фрактальной, дробной, размерности служит доказательством фрактальной сущности исследуемых структур и дает количественную характеристику сложноcти пространственной организации клеток и их ансамблей в динамике процесса морфогенеза.

Дифференцированные клеточные ансамбли первичной мезенхимы морского ежа продуцируют спикулы личиночного скелета. Морфология личиночных спикул морских ежей, офиур и голотурий имеет таксономическое значение - поэтому фрактальная размерность спикул может быть применена в качестве количественной характеристики при идентификации вида.

Фрактальная размерность со значениями D от 1,6 до 1,7 характерна для конфигураций, описываемых моделью агрегации, ограниченной диффузией, примененной для моделирования фрактальной самоорганизации агрегирующих гемоцитов гребешка Mizuhopecten yessoensis (Державин, Исаева, 2000).

Контакт гемолимфы с наружной средой вызывает немедленную, быстро протекающую и потому недоступную для непосредственного наблюдения агрегацию гемоцитов – модифицированную in vitro реакцию тромбообразования. Агрегация гемоцитов in vitro, подобно агрегации клеток крови или гемолимфы других животных - проявление защитной гемостатической функции, предотвращающей in vivo потерю гемальной жидкости. Гемоциты в организме осуществляют также инкапсуляцию инородного материала биотического или абиотического происхождения.

Система агрегирующих in vitro гемоцитов, состоящая исходно из отдельных клеток - элементов с хаотической индивидуальной динамикой, оказалась удобной для исследования фрактальной самоорганизации - как общих для живых и неживых систем ее проявлений, так и специфичных для данной биологической системы клеточных механизмов биологического фракталообразования.

После перенесения гемолимфы в чашку Петри одновременно с продолжающейся агрегацией происходит осаждение агрегатов: можно наблюдать лежащие на дне чашки уплощенные рыхлые агрегаты различного размера и разнообразной причудливой формы (рис.), очень сходные с фрактальными «монстрами» (Mandelbrot, 1983).

Рис. 50. Морфологическое сходство агрегата гемоцитов (внизу) с фракталом Мандельброта

Линейные размеры агрегатов в процессе последующего сокращения уменьшаются в несколько раз. Вероятно, в организме моллюска агрегат функционирует сначала как тромб, закрывающий отверстие раны, затем сокращение сгустка гемоцитов, по периферии одновременно прикрепленных к внеклеточному веществу и/или клеткам раневой поверхности, обеспечивает стягивание краев раны.

Сокращение и компактизация завершаются образованием правильных сферических агрегатов, прикрепленных к дну чашек. В течение последующих нескольких часов после эксплантации самоорганизация гемоцитов в сферических агрегатах приводит к послойному концентрическому расположению уплощенных вытянутых клеток (рис. 51), подобно возникающему в ходе инкапсуляции инородного тела - однако в отсутствие последнего.

Рис.. Самоорганизация клеточного агрегата

Агрегация клеток гемолимфы, сокращение и структуризация агрегатов гемоцитов блокируются цитохалазином, что свидетельствует о зависимости обоих процессов от функционирования интактной системы актиновых филаментов и тем самым выявляет биологический механизм фрактальной саморганизации данной клеточной системы.

Таким образом, в процесссе саморганизации гемоцитов in vitro воспроизводятся защитные клеточные реакции и защитно-морфогенетические процессы, характерные для организма: агрегация (тромбообразование), сокращение тромба и процесс инкапсуляции, причем присутствие инородного тела не является обязательным условием структурирования агрегата гемоцитов.

Поскольку прямое наблюдение образования фрактального кластера в результате агрегации гемоцитов невозможно, моделировалась обратная динамика морфогенеза фрактального агрегата при его сокращении. Совпадение хода кривых соотношения площади и оптической плотности изображения агрегата для реального объекта в процессе сокращения и для его фрактальной модели доказывает фрактальную сущность агрегатов гемоцитов на начальных стадиях их сокращения. Прямым доказательством фрактальной природы агрегата гемоцитов послужило определение его фрактальной размерности. Размерность ранних агрегатов гемоцитов оказалась дробной, с максимальным значением, не превышающим у визуализируемых агрегатов 1, 6 и затем быстро падающим в ходе компактизации агрегата; далее в процессе сферообразования и минимизации площади поверхности агрегатов фрактальность их организации, естественно, полностью исчезает. Была построена компьютерная имитация хаотических фрактальных кластеров гемоцитов на базе модели DLA (Державин, Исаева, 2000). Фрактальная размерность агрегатов гемоцитов - топологический инвариант, определяющий внутренний порядок хаотического кластера - характерна для кластеров модели DLA (Witten, Sander, 1981; Сандер, 1987).

Итак, процесс агрегации гемоцитов как переход от однородной фазы (суспензия отдельных гемоцитов) к конечному стационарному состоянию (рис.) включает фазу переходного хаоса, имеющего фрактальную природу и подчиняющегося закономерностям фрактальной геометрии.

Рис.. Фрактал Мандельброта (слева) и конечная фаза агрегации гемоцитов

В ходе агрегации гемоцитов, по-видимому, происходит и объединение возникающих фрактальных кластеров друг с другом, подобно наблюдаемому в неживой природе (Смирнов, 1991). Конечное стационарное состояние системы можно рассматривать как визуализацию исходных центров агрегации (иначе говоря, распределенных точечных аттракторов), динамика конкурентных отношений которых в ходе агрегации и последующего сокращения возникших фрактальных кластеров проводит к образованию на дне чашки Петри сфер различного размера. Эта конечная картина также представляет собой фрактал, сравнимый с фракталом Мандельброта («швейцарским сыром»: Mandelbrot, 1983), имеющим размерность (для фона) около 1, 9 (рис.).

Таким образом, в экспериментальной системе агрегирующих гемоцитов наблюдается переход от хаоса к порядку, фазовый переход состояния клеточной системы с возникновением новой «фазы» в первоначально гомогенной среде, иначе говоря, обобщенная, или глобальная катастрофа Р. Тома. Подобную глобальную катастрофу с визуализацией центров притяжения и их областей (бассейнов) действия Р. Том наблюдал на картинах агрегации амеб миксомицета Dictiostelium (рис.).

Как и амебы миксомицета, клетки крови и гемолимфы – система быстрого реагирования, характеризующаяся хаотической динамикой и быстротой переходов из одного состояния в другое, причем предсказуемому конечному состоянию может предшествовать переходный хаос.

Итак, в чашке Петри можно наблюдать хаос – хаотические фрактальные кластеры. Имеет ли место хаос в организме многоклеточных животных?