Виды спектра

Как известно, оператор обратим тогда и только тогда, когда он биективен. Следовательно, оператор может быть необратим по двум причинам: он не инъективен или не сюръективен.

I. Оператор не инъективен Уравнение имеет не только нулевое решение.

Числа которые реализуют эту ситуацию, называются собственными значениями оператора и образуют дискретный (точечный) спектр При этом ненулевые решения уравнения называются собственными элементами (векторами, функциями) оператора

II. Оператор инъективен, но не сюръективен Уравнение разрешимо не для всех

Числа которые реализуют эту ситуацию, образуют непрерывный и остаточный спектр

Ясно, что

Если – конечномерное пространство, то у оператора есть только дискретный спектр (множество собственных чисел матрицы, которая задает оператор).