Задачи на построение левого и правого обратного оператора

Задание: для линейного оператора найти и сделать выводы о существовании левого и правого обратного операторов, построить их, если они существуют.

1.

Это оператор замены переменной, причем функция взаимно-однозначно отображает промежуток в Ясно, что Следовательно, существует и левый, и правый обратный, т.е. просто обратный оператор который сопоставляет каждой функции функцию Проверим, что построенный оператор действительно является обратным:

2.

Найдем ядро оператора. Заметим, что для любого только если почти всюду на отрезке а поскольку – непрерывная функция, то Следовательно,

Найдем образ оператора. Если – непрерывная функция на отрезке то – непрерывно дифференцируемая функция, т.к. ее производная равна Кроме того, заметим, что Значит, множество значений оператора – это не все функции пространства а только те, которые непрерывно дифференцируемы и принимают нулевое значение в точке Следовательно,

Поскольку то представим оператор в виде тогда для него существует и левый, и правый обратный, т.е. просто обратный оператор Нетрудно догадаться, что оператор сопоставляет каждой функции функцию

Проверим, что построенный таким образом оператор действительно является обратным к оператору