Основные гипотезы. 1. Yt=a+bXt+et , t=1,2, .,n – спецификация модели

1. Y_t=a+bX_t+e_t, t=1,2,….,n – спецификация модели.

2. X_t – детерминированная величина; вектор (X₁,X₂,…,X_n)`не коллинеарен вектору s = (1,….,1)`.

3а. E e_t = 0, E(e_t²) = V (e_t) = s² – не зависит от t.

3б. E (e_t e_s) = 0. При t ¹ s – некоррелированность ошибок для разных наблюдений.

Часто добавляется условие:

3в. e_t ~ N (0,s²), т.е. e_t – нормально распределенная случайная величина со средним 0 и дисперсией s². В этом случае модель называется нормальной линейной регрессионной.

Обсудим гипотезы, лежащие в основе линейной регрессионной модели.

1.Спецификация модели отражает наше представление о механизме зависимости Y_t от X_t и сам выбор объясняющей переменной X_t.

Условия 3а, 3б в векторной форме могут быть записаны следующим образом:

E e = 0, V(e) = s²I_n,

где e = (e_{1, …….,} e_n)`, I_n – nxn единичная матрица, nxn - матрица ковариаций.

Условие независимости дисперсии ошибки от номера наблюдения E(e_t²)=V(e_t)=s², t=1,2,3,…,n называется гомоскедастичностью; случай, когда условие гомоскедастичности не выполняется, называется гетероскедастичностью. На рис. 3 приведен пример типичной картины для случая гомоскедастичности ошибок, на рис. 4 – пример данных с гетероскедастичными ошибками.

Рис. 3 Рис. 4

Условие E (e_te_s) = 0, t ¹ s указывает на некоррелированность ошибок для разных наблюдений. Это условие часто нарушается в случае, когда наши данные являются переменными рядами. В случае, когда это условие не выполняется, говорят об автокорреляции остатков.

Для простейшего случая автокорреляции остатков, когда E(e_t,e_t+1)=r¹0, типичный вид данных показан на рис. 5 (r> 0) и 6 (r<0).

Рис. 5 Рис. 6

Отметим, что условия 3а, 3б можно также написать в терминах зависимой переменной: Ey_t=a+bx_t, V(y_t)=s² , Cov(y_t, y_s)=0, t¹s.