Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1) Ассоциативность умножения матриц, т.е., справедливо .
Доказательство. Из определения 5 следует, что элемент матрицы равен , а элемент матрицы равен . Равенство следует из возможности изменения порядка суммирования.
2) Дистрибутивность сложения относительно умножения, т.е.,
, .
, .
Доказательство следует из определения суммы и произведения матриц.
3) .
Доказательство. Пусть , и . Тогда . Здесь – символ Кронекера.
.
4) .
5) .
Доказательство свойств 4)-5) проводится аналогично свойству 3).
6) .
Теорема 2. Множество квадратных матриц порядка над кольцом относительно операций сложения матриц и умножения матриц образует кольцо с единицей.
Доказательство. Из теоремы 1 – абелева группа. Так как любые матрицы из согласованы умножение определено. Дистрибутивность и ассоциативность умножения следует из свойств 2) и 1). Свойство 3) демонстрирует наличие единицы.■
Замечание. В общем случае произведение матриц не коммутативно. Например,
.
Но из свойств 4) и 5) умножение квадратной матрицы на и коммутирует. Также коммутирует умножение квадратной матрицы на скалярную.
3о. Блочные матрицы.
Пусть матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае рассматривается как некоторая новая, блочная матрица , элементами которой являются блоки указанной матрицы ( – элементы матрицы, поэтому заглавное). Здесь – номер блочной строки, – столбца.
Например, если
, то ,
, , .
Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки. Действительно, если , то , где вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число. Аналогично, если и имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме отвечает блочная матрица : .
Для умножения на необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока равно числу строк блока . Тогда .
Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц . Пусть . Если , то и , откуда следует, что
, что и требовалось доказать.
Пример. Пусть , , т.е.,
, ,
где
,
.
Тогда . Аналогично находятся остальные . В результате получаем
.
В качестве применения блочных матриц рассмотрим
Определение 6. Прямой суммой квадратных матриц порядков соответственно называется квадратная матрица порядка : .
Обозначение: .
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 2227 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!