Правила и ошибки в доказательстве и опровержении

Ошибка в доказательстве — вещь довольно обычная. Проводя доказательства, мы опираемся на нашу логическую интуицию, на стихийно усвоенное знание законов логики. Как правило, оно нас не подводит. Но в отдельных и особенно сложных случаях оно может оказаться ненадежным.

Эксперименты, проводившиеся психологами, показывают, что едва ли не каждое четвертое наше умозаключение не опирается на закон логики, а значит, является неправильным. Навыки логичного, т.е. последовательного и доказательного мышления формируются и совершенствуются в практике рассуждений. Но, как заметил английский философ Ф. Бэкон, упражнения, не просветленные теорией, с одинаковым успехом закрепляют как правильное, так и ошибочное.

Наше логическое чутье и наши навыки доказательства не так безупречны, как это часто кажется. Полезно поэтому не упускать случая, чтобы их усовершенствовать.

Провести четкую границу удается тогда, когда известно не только то, что охватывается ею, но и то, что остается за ее пределами. Ясное понимание доказательства предполагает, помимо прочего, определенное представление о рассуждениях, имеющих форму доказательства, но на самом деле им не являющихся. Такие "несостоявшиеся доказательства" — результат ошибок, допущенных — непреднамеренно или сознательно — в ходе доказательства. Знакомство с наиболее типичными из них способствует совершенствованию практических навыков доказательства и позволяет лучше понять, что представляет собой "безошибочное" доказательство.

Доказательство — это логическая, дедуктивная связь принятых аргументов и выводимого из них тезиса. Логические ошибки в доказательстве можно разделить на относящиеся к тезису, к аргументам и к их связи.

Формальная ошибка имеет место тогда, когда умозаключение не опирается на логический закон, и заключение не вытекает из принятых посылок. Иногда эту ошибку сокращенно так и называют — "не вытекает".

Допустим, кто-то рассуждает так: "Если я навещу дядю, он подарит мне фотоаппарат; когда дядя подарит мне фотоаппарат, я продам его и куплю велосипед: значит, если я навещу дядю, я продам его и куплю велосипед".

Ясно, что это — несостоятельное рассуждение. Его заключение насчет "продажи дяди" абсурдно. Но посылки безобидны и вполне могут быть истинными, так что источник беспокойства не в них. Причина ошибки в самой дедукции, в выведении из принятых утверждений того, что в них вообще не подразумевалось. Дедукция из верных посылок всегда дает верное заключение. В данном случае заключение ложно. Значит, умозаключение не опирается на закон логики и неправильно. Ошибка проста. Местоимение "его" может указывать на разные предметы. В предложении "Я продам его и куплю велосипед" оно должно указывать на фотоаппарат. Но выходит так, что на самом деле оно относится к дяде.

Чтобы опровергнуть это неправильное рассуждение, надо показать, что между принятыми посылками и сделанным на их основе заключением нет логической связи.

Немецкий физик В. Нернст, открывший третье начало термодинамики (о недостижимости абсолютного нуля температуры), так "доказывал" завершение разработки фундаментальных законов этого раздела физики: "У первого начала было три автора: Майер, Джоуль и Гельмгольц; у второго — два: Карно и Клаузиус, а у третьего — только один: Нернст. Следовательно, число авторов четвертого начала термодинамики должно равняться нулю, т. е. такого закона

просто не может быть".

Это шуточное доказательство хорошо иллюстрирует ситуацию, когда между аргументами и тезисом явно нет логической связи. Иллюзия своеобразной "логичности" рассуждения создается чисто внешним для существа дела перечислением.

В гробнице египетских фараонов была найдена проволока. На этом основании один "египтолог" высказал предположение, что в Древнем Египте был известен телеграф. Услышав об этом, другой "исследователь" заключил, что, поскольку в гробницах ассирийских царей никакой проволоки не найдено, в Древней Ассирии был уже известен беспроволочный телеграф.

Предположение "египтолога" — если это не шутка — очевидная нелепость. Еще большая глупость — если это опять-таки не шутка — заключение "ассириолога". И конечно же, никакой логической связи между этими "предположениями" и сделанными как бы на их основе "заключениями" нет.

Встречаются, к счастью довольно редко, хаотичные, аморфные рассуждения. Внешне они имеют форму доказательств и даже претендуют на то, чтобы считаться ими. В них есть слова "таким образом", "следовательно", "значит" и подобные им, призванные указывать на логическую связь аргументов и доказываемого положения. Но эти рассуждения доказательствами на самом деле не являются, поскольку логические связи подменяются в них психологическими ассоциациями.

Вот, к примеру, рассуждение, внешне напоминающее доказательство: "Вечный двигатель признан невозможным, так как он противоречит закону сохранения энергии, или первому началу термодинамики. Когда было открыто второе начало термодинамики, стали говорить о невозможности вечного двигателя второго рода. Это же можно сказать и о вечном двигателе третьего рода, который запрещается третьим началом термодинамики. Но четвертого начала термодинамики нет! Следовательно, ничто не мешает создать вечный двигатель четвертого рода. И тем более вечный двигатель пятого и так далее

рода!"

Характерная ошибка в отношении тезиса — подмена тезиса, неосознанное или умышленное замещение его в ходе доказательства каким-то другим утверждением. Подмена тезиса ведет к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать.

Тезис может сужаться, и в таком случае он остается недоказанным. Например, для доказательства того, что сумма углов треугольника равна двум прямым, недостаточно доказать, что эта сумма не больше 180°. Для обоснования того, что человек должен быть честным, мало доказать, что разумному человеку не следует лгать.

Тезис может также расширяться. В этом случае нужны дополнительные основания. И может оказаться, что из них вытекает не только исходный тезис, но и какое-то иное, уже неприемлемое утверждение. "Кто доказывает слишком много, тот ничего не доказывает" — эта старая латинская пословица как раз и имеет в виду такую опасность.

Иногда случается полная подмена тезиса, притом она не так редка, как это может показаться. Обычно она затемняется какими-то обстоятельствами,

связанными с конкретной ситуацией, и благодаря этому ускользает от внимания. Широкую известность получил случай с древнегреческим философом Диогеном, которого однажды за подмену тезиса спора даже побили. Один философ доказывал, что в мире, как он представляется нашему мышлению, нет движения, нет многих вещей, а есть только одна единственная вещь, притом неподвижная и круглая. В порядке возражения Диоген встал и начал не спеша ходить перед спорящими. За это его, если верить некоторым старым источникам, и побили палкой.

Речь шла о том, что для нашего ума мир неподвижен. Диоген же своим хождением пытался подтвердить другую мысль: в чувственно воспринимаемом мире движение есть. Но это и не оспаривалось. Автор мнения, что движения нет, считал, что чувства, говорящие о множественности вещей и их движении, просто обманывают нас.

Разумеется, мнение, будто движения нет, ошибочно, как ошибочна идея, что чувства не дают нам правильного представления о мире. Но раш обсуждалось такое мнение, нужно было говорить о нем, а не о чем-то другомИ I хотя бы и верном. Вот как описывает этот спор А. С. Пушкин: И

Движенья нет, сказал мудрец брадатый, В

Другой смолчал и стал пред ним ходить. В

Сильнее бы не мог он возразить; И

Хвалили все ответ замысловатый. В

Но, господа, забавный случай сей В

Другой пример на память мне приводит: ™

Ведь каждый день пред нами солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей.

Наиболее частая ошибка — это попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов.

Тигры, как известно, не летают. Но рассуждение "Только птицы летают; тигры не птицы; следовательно, тигры не летают" не является, конечно, доказательством этого факта. В рассуждении используется неверная посылка, что способны летать одни птицы: летают и многие насекомые, и млекопитающие (например, летучие мыши), и самолеты и др. С помощью же посылки "Только птицы летают" можно вывести не только истинное, но и ложное заключение, скажем, что майские жуки, поскольку они не птицы, не летают.

Довольно распространенной ошибкой является круг в доказательстве: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если за основание доказательства принимается то, что еще нужно доказать, обосновываемая мысль выводится из самой себя, и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу.

Почему мы видим через стекло? Обычный ответ: оно прозрачно. Но назвать вещество прозрачным — значит сказать, что сквозь него можно видеть.

В статье "Так что же нам делать?" Л. Н. Толстой резко обвиняет политэкономию в явном порочном круге. "Вопрос экономической науки, — пишет Толстой, — в следующем: какая причина того, что одни люди, имеющие землю и капитал, могут порабощать тех людей, у которых нет земли и капитала?

Ответ, представляющийся здравому смыслу, тот, что это происходит от денег, имеющих свойство порабощать людей. Но наука отрицает это и говорит: это происходит не от свойства денег, а оттого, что одни имеют землю и капитал, а другие не имеют их. Мы спрашиваем: отчего люди, имеющие

землю и капитал, порабощают неимущих? Нам отвечают: оттого, что они имеют землю и капитал. Да ведь мы просто это же самое и спрашиваем. Лишение земли и орудий труда и есть порабощение. Ведь это ответ: усыпляет, потому что обладает снотворной силой".

Еще в XVII в. философ и логик Г. Лейбниц высказал идею представить логическое доказательство как "игру со знаками". Эта "игра" должна осуществляться по простым правилам, напоминающим правила вычисления в математике и принимающим во внимание только внешний вид знаков.

Лейбниц попытался преобразовать умозаключение в вычисление по строгим правилам. Он верил, что это в конце концов удастся, и наступит золотой век, когда с помощью новой логики самые сложные и отвлеченные проблемы будут "вычисляться" так же легко и бесспорно, как в математике вычисляется сумма чисел.

Программа Лейбница перестроить логику по образцу математики была грандиозной. Но этот замысел намного опережал свое время и надолго остался непонятым. Только через два столетия уподобление логических операций математическим произвело переворот в формальной логике и привело к возникновению современной математической логики.

Идея Лейбница — это идея формализации доказательства, сведения его к преобразованию одних последовательностей знаков в другие их

последовательности.

Строя доказательства, мы опираемся на интуитивную логику и постоянно обращаемся к содержательному значению используемых понятий, их смыслу. Но смысл — трудноуловимая вещь. Нередко он расплывчат и неопределенен, может истолковываться по-разному и меняться в ходе доказательства. Не удивительно, что даже в математике, оперирующей наиболее точными по­нятиями, возникают споры по поводу того, доказано какое-то положение или

нет.

Чтобы сделать доказательство предельно строгим, нужно свести оперирование смыслами, недоступными наблюдению, к действиям над вещественными, хорошо обозримыми объектами. Для этого требуется выявить все используемые нами принципы интуитивной логики и представить их в виде простых правил преобразования последовательностей знаков, записанных на бумаге. Рассуждение превратится при этом в предметные действия над

цепочками знаков.

Сущность метода формализации состоит в построении модели, в которой содержательным рассуждениям соответствуют чисто формальные образования. Ими оперируют на основании системы правил, а не смыслового содержания предложений.

Формализация может осуществляться с разной степенью полноты. Полная формализация теории имеет место тогда, когда совершенно отвлекаются от содержательного смысла исходных понятий и положений теории и перечисляют все правила логического вывода, используемые в доказательствах. Такая формализация включает в себя три момента: обозначение исходных, неопределяемых терминов; перечисление принимаемых без доказательства формул (аксиом); введение правил преобразования этих формул для получения из них новых формул (теорем). В формализованной теории доказательство не требует обращения к каким-либо интуитивным представлениям. Оно является последовательностью формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из аксиом по правилам вывода. Проверка такого доказательства, превращается в механическую процедуру и может быть передана вычислительной машине.

Допустим для примера, что аксиомами являются формулы: (А —> В) —>(~8 —> ~А), (А—>В) и ~В, а единственным правилом — правило, позволяющее вписывать в доказательство формулу В, если в нем ранее встречались формулы А—$В и А. Для осуществления вывода нет необходимости знать, что означают знаки —> и ~ и какие утверждения представляются буквами А и В. Вывод — это оперирование самими знаками как материальными объектами, а не стоящими за ними смыслами. Построим такую последовательность формул:

:.(А->В) ->(~В->~А).

2. (А->В).

3.(~В~~>~А).

В.

5. ~А.

Формулы 1, 2 и 4 — аксиомы, формулы 3 и 5 получены из аксиом по принятому правилу вывода. Значит, данная последовательность — доказательство, а именно доказательство своей конечной формулы — - А. Это формальное доказательство, в нем не используются "смыслы", нет никаких "психологических моментов".

Теперь можно придать определенные значения всем знакам, входящим в последовательность. Предположим, что А — это утверждение "По проводнику течет ток", В — утверждение "Вокруг проводника образуется магнитное поле", —> — "если... то..." и —- "неверно". При таком истолковании рассматривае­мая последовательность — вывод заключения "Неверно, что по проводнику течет ток" из посылок "Если по проводнику течет ток, то вокруг него образуется магнитное поле" (А-~$В) и "Неверно, что вокруг проводника образуется магнитное поле" (~В). Формула 1 — это логический закон контрапозиции, лежащий в основе вывода.

Можно придать и другие значения знакам А и В. Допустим, что А представляет утверждение "Есть дым", а В — "Есть огонь". Тогда указанная последовательность окажется выводом утверждения "Нет дыма" из утверждений "Если есть дым, то есть и огонь" (или "Нет дыма без огня") и "Нет огня".

Формализация играет существенную роль в уточнении научных понятий. Многие проблемы не могут быть не только решены, но даже сформулированы и поставлены, пока не будут формализованы связанные с ними рассуждения. Так обстоит дело, в частности, с широко используемым теперь понятием алгоритма и вопросом о том, существуют ли алгоритмически неразрешимые проблемы. Оказалось, что они существуют. Только формализация дала возможность поставить вопрос: охватывает ли формализованная, "машинная" арифметика всю содержательную арифметику?

Формализованное доказательство — это доказательство, записанное на специальном искусственном — формализованном —- языке. Он имеет точно установленную структуру и простит-правила, благодаря чему процесс доказательства сводится к элементарным операциям со знаками.

Формализованное доказательство — это идеальное и неоспоримое доказательство. Но насколько реалистичен этот идеал, не слишком ли формализованные рассуждения отходят от обычных научных рассуждений? Можно ли полностью формализовать любую научную теорию?

Ответы на эти вопросы были получены в 30-е гг., когда был установлен ряд теорем, принципиально ограничивающих формализацию. Наиболее важная из них принадлежит математику и логику К. Гёделю. В 1931 г. он показал, что

любая достаточно богатая по содержанию формализованная теория неизбежно неполна: она не охватывает все истинные утверждения, относящиеся к ее области (теорема Гёделя).

Теорема Гёделя касается непосредственно арифметики целых чисел и всех тех более широких теорий, которые содержат в качестве своей части: если формализованная арифметика непротиворечива, имеются такие формулы, которые в ней не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты. Иначе говоря, как бы ни была проведена формализация, обязательно найдется такое содержательно истинное арифметическое утверждение, которое недоказуемо в формализованной арифметике. Последняя не может охватить всю обычную, содержательную арифметику.

Теорема Гёделя о неполноте произвела эффект разорвавшейся бомбы не только в математике и логике. Она распространяется на любую формализованную теорию, содержащую арифметику, и говорит о внутренней ограниченности процедуры формализации, о невозможности представления сколько-нибудь богатой теории в виде завершенной формализованной системы.

Гёделевская теорема не дискредитирует, конечно, метод формализации. Но она говорит, что никакая формализация не способна исчерпать все богатство приемов и методов содержательного мышления.

Теорема Гёделя иногда истолковывается как свидетельство непреодолимой ограниченности человеческого разума. Такая пессимистическая интерпретация малоосновательна. Теорема устанавливает границы только "машиноподобного", "вычисляющего" разума. Вместе с тем косвенно она говорит о могуществе творческого разума, способного создавать новые понятия и методы для решения принципиально новых проблем.