 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Математическое ожидание СВ и его свойства
|
|
Если две предыдущие характеристики положения находят достаточно ограниченное положение, то математическое ожидание (МО) является важнейшей характеристикой положения, тем параметром закона распределения, без которого не обходится ни один анализ случайных величин.
Математическое ожидание является средним значением СВ (центром распределения СВ) и обозначается – М[Х] или mХ.
Статистической аналогией МО является, так называемое, «среднее статистическое» («выборочное среднее»), которое есть ничто иное, как среднее арифметическое наблюдавшихся эмпирических значений СВ - М[Х]* или mХ*.
Пример 28.
Найти средний балл, полученный студентами на экзамене на основании имеющегося статистического ряда (табл. 9):
Таблица 9 Статистический ряд экзаменационных оценок
| Экзаменационная оценка | ||||
| Частота (число полученных оценок) |
Среднее статистическое значение (а им и является в настоящей задаче средняя экзаменационная оценка) находим как среднее арифметическое. Для этого необходимо учесть количество повторений каждой оценки (обозначим их буквой Х):
mХ*. = 
Основываясь на этом примере, можно записать формулу вычисления среднего статистического значения:
mХ* = 
, (19)
где ni – частота повторения варианты хi;
N – общее число наблюдений:
рi* – статистическая вероятность (частость) для i -й варианты.
В том случае, если для СВ получен группированный статистический ряд для вычисления среднего статистического значения можно пользоваться формулой (19), учитывая, что в ней хi – среднее значения СВ в разряде (его иногда обозначают как 
и называют «представителем разряда»), а k – число разрядов.
Согласно закону больших чисел при неограниченном увеличении числа опытов частости рi* сколь угодно мало будут отличаться от теоретических вероятностей рi.
Математическое ожидание дискретной СВ вычисляется как сумма произведений всех n возможных значений хi этой СВ на вероятности p i этих значений:
. (20)
Пример 29.
Имеется ряд распределения случайной величины Х – оценок, полученных на экзамене (табл. 10). Найти математическое ожидание случайной величины Х.
Таблица 10. Ряд распределения оценок на экзамене
| Оценка | ||||
| Вероятность | 0,1 | 0,5 | 0,3 | 0,1 |
Решение. По формуле (20) М[Х] = 2 · 0,1 + 3 · 0,5 + 4 · 0,3 + 5 · 0,1 = 3,4.
Формулу вычисления МО непрерывной СВ можно получить из формулы (20), заменив сумму интегралом, дискретное значение хi - непрерывным значением х, вероятность рi – элементом вероятности хf(х).
(21)
где f(x ) - плотность распределения непрерывной случайной величины Х.
Связь между МО и средним статистическим значением выражает закон больших чисел: при неограниченном увеличении количества опытов среднее статистическое значение сколь угодно мало отличается от математического ожидания.
Этот вывод можно распространить и на другие параметры законов распределения: при неограниченном увеличении количества опытов любая статистическая характеристика сколь угодно мало отличается от соответствующего ей теоретического параметра закона распределения.
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание - неслучайная величина, так как является характеристикой истинных законов, существующих в природе.
2. МО может принимать положительное, отрицательное, нулевое значения.
3. 
Физическая аналогия МО – абсцисса центра масс системы материальных точек. Это важное свойство вытекает из формулы (20): если рассмотреть нагруженный стержень (рис. 50), в котором хi - координаты приложения нагрузок, рi -нагрузки в относительных единицах, то mХ – абсцисса центра масс (точка приложения равнодействующей нагрузки).
По кривой распределения СВ или по гистограмме можно приближённо определить математическое ожидание (среднее статистическое значение), «на глазок» найдя точку, соответствующую центру тяжести плоской однородной фигуры, повторяющей по форме эту кривую или гистограмму.
4. МО имеет ту же размерность, что и случайная величина.
5. МО неслучайной величины С равно этой неслучайной величине: М[С] = С.
Доказательство (на примере дискретной СВ): Если использовать формулу (20) для одного значения СВ (у неслучайной величины есть только одно значение),которое она обязательно (с вероятностью равной единице) принимает, получим: М[С] = С · 1 = С.
6. Неслучайную величину можно выносить за знак МО: М[СХ] = С М[Х].
Доказательство (на примере дискретной СВ): Если использовать формулу (20), получим: М[СХ] = 
(Сх1р1 + Сх2р2 + Сх3 р3 +….+ Схn рn) =
C(х1р1 + х2р2 + х3 р3 +….+ хn рn) = C М[Х].
Пример 30. 
.
7. МО суммы случайных величин равно сумме МО этих величин:
. (22)
Доказательство проведём на примере двух дискретных СВ – Х и Y. Эти две СВ образуют систему, ряд распределения которой можно представить в виде таблицы (табл.11). Случайная величина Х принимает одно из k возможных значений: х1, х2, х3…хi…хk, а с лучайная величина Y - одно из l возможных значений: y1, y2, y3… yj …y l. Вероятность рij – это вероятность того, что случайные величины одновременно примут два соответствующих значения: Х = хi и Y = yj.
Используя формулу (20), получаем:
М[Х + Y] = 
.
В первом из двух слагаемых xi не зависит от числа j и его можно вынести за знак одной из сумм. Аналогично во втором слагаемом можно поступить с y j:
М[Х + Y] = 
.
В последнем выражении 
= pi1 + pi2 + pi3 + …+ pil - вероятность того, что величина X принимает значение xi, величина Y – значения y 1, y2, y3…yi…yl, т.е. величина X принимает значение xi, а величина Y – любое из возможных для него значений. Поэтому эта сумма является вероятностью того, что величина X принимает значение xi. Эту вероятность можно обозначить, как qj.
Аналогично 
. Тогда
М[Х + Y] = 
= М[Х] + М[Y].
Таблица 11. Ряд распределения для системы двух дискретных СВ
| Случайные величины | х1 | х2 | х3 | …. | хi | ….. | хk |
| y1 | р11 | р21 | р31 | …. | pi1 | …. | pk1 |
| y2 | р12 | р22 | р32 | …. | pi2 | …. | pk2 |
| y3 | р13 | р23 | р33 | …. | pi3 | …. | pk3 |
| ….. | ….. | ….. | ….. | …. | ….. | …. | ….. |
| yj | p1j | p2j….. | p3j….. | …. | pij….. | …. | pkj….. |
| …… | ….. | ….. | ….. | …. | ….. | …. | ….. |
| yl | p1l | p2l | p3l | …. | Pil | …. | pkl |
Для трёх СВ можно записать М[X + Y + Z] = М[(X + Y) + Z ], т.е. представить сумму трёх слагаемых в виде суммы двух и т.д. Что в итоге позволяет обосновать выражение (22).
Пример 31. Найти M[3X – 5Y], е сли mx = 3, my = 4.
M[3X – 5Y] = М [3 Х ] + М [-5 Y] = 3 М[Х] + (-5) М[Y] = 3 · 3 – 5 · 4 = -11.
8. МО произведения независимых СВ равно произведению их математических ожиданий: 
(23)
Доказательство как и в предыдущем случае проведём на примере двух дискретных СВ – Х и Y (табл. 11). Так как величины Х и Y независимы, то вероятность рij совместного появления значений хi и yj по формуле умножения независимых событий равна произведению вероятности рi принятия случайной величиной Х значения хi на вероятности qj принятия случайной величиной Y значения yj: рij = piqj.
С учётом этого получаем:
М[ХY] = 
= 
= М[Х] М[Y].
По аналогии со свойством 7 свойство 8 может быть распространено на любое количество сомножителей.
Определение вероятности произведения зависимых СВ будет рассмотрено в дальнейшем – после знакомства с понятием корреляция.
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 549 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
