Ряды распределения СВ

ТЗР-1. Ряд распределения СВ

Ряд распределения – это таблица, в которой с одной стороны указаны значения случайной величины, а с другой – их вероятности (табл. 2). В ряду распределения значения СВ располагаются упорядочено – по мере их возрастания.

Между всеми возможными значениями СВ делится суммарная вероятность этих значений, равная единице. Поэтому сумма всех вероятностей ряда распределения равна единице: = 1

Таблица 2. Ряд распределения СВ

Х	х1	х2	х3	…..	хi	…	хn
Р	р1	р2	р3	…..	рi	…	рn

Ряд распределения можно записать только в том случае, если СВ является дискретной, т.е. он является теоретическим способом задания закона распределения дискретной СВ.

Пример 25

Таблица 3. Ряд распределения экзаменационных оценок

Оценка
Р	0,10	0,45	0,30	0,15

СтЗР-1. Статистический ряд распределения

Статистический ряд является аналогией теоретического ряда распределения и устанавливает взаимосвязь между значениями СВ, полученными в опыте (их часто называют вариантами), и их статистическими вероятностями (частостями) - p_i*. Статистический ряд в целом называют также вариационным рядом.

Так как один и тот же объект может быть охарактеризован с разных сторон (например, для ЛЭП можно одновременно измерить ток, напряжение, активную и реактивную мощность, частоту и др.), то вариационные ряды могут быть одномерными, двумерными, трёхмерными и т.д. В дальнейшем будем рассматривать одномерные вариационные ряды.

В зависимости от того, как много вариант (значений СВ) х_i, получено эмпирическим путём статистические ряды подразделяются на негруппированные (безинтервальные) и группированные (интервальные).

СтЗР-1а. Негруппированный вариационный ряд

Этот ряд распределения (табл. 4) используется для описания статистических данных при малом (не более 15…20) числе k наблюдавшихся вариант.

Таблица 4. Негруппированный статистический ряд

Значения СВ (варианты) Х	х1	х2	х3	….	хi		Хk
n - количество повторений (частоты)	n1	n2	n3	….	ni		nk
Pi* - статистические вероятности (частости)	p1*	p2*	p3*	….	pi*		pk*

Сумма частот в вариационном ряду равна числу проведенных опытов N:

= N .

Статистическая вероятность вычисляется по формуле: р_i*= n_i/N. (17)

По аналогии с теоретическим рядом распределения = 1 .

Пример 25

Таблица 5 Вариационный ряд распределения оценок, полученных на экзамене

Оценка
Частота ni
Частость рi*	0,093	0,474	0,309	0,124

СтЗР-1б. Группированный вариационный ряд

Данный ряд применяется, когда количество вариант (наблюдавшихся в опыте значений СВ) велико. Чаще такое возможно для непрерывных СВ, но не исключено и для дискретных. Если все наблюдавшиеся варианты (а их может быть десятки и сотни) указать в таблице, ряд получится громоздким и неудобным для анализа. Поэтому значения группируются (табл. 6) в разряды (интервалы), что существенно упрощает последующий анализ.

Для заполнения группированного ряда достаточно подсчитать количество наблюдавшихся значений СВ внутри каждого разряда, а затем вычислить статистические вероятности по формуле (17). В случае когда какое-то значения СВ совпало с границами интервала, к частотам каждого из граничных разрядов добавляется по 0,5 наблюдения.

Таблица 6. Группированный статистический (вариационный) ряд

№ разряда			…	i	…	k
Границы разрядов хi …хi+1	х1...х2	х2...х3	…	хi...хi+1	…	хk...хk+1
n – число наблюдений (частоты)	n1	n2	…	ni	…	nk
рi* - статистические вероятности (частости)	p1*	p2*	…	pi*	…	pk*

Количество интервалов, на которые разбиваются все зафиксированные в опыте варианты, выбирается исследователем, и обычно лежит в пределах от 10 до 20. Как правило, ширина интервалов выбирается одинаковой. Однако если количество наблюдений в разряде невелико (до десяти), то ширина разряда может быть увеличена (часто это происходит в крайних интервалах распределения).

Правильный выбор ширины интервала может существенно повлиять на результат исследования. Если интервалы широкие, то количество их уменьшается, и отдельные иногда важные детали закономерности распределения СВ могут быть упущены из рассмотрения. Наоборот, при большом числе разрядов, количество наблюдений в каждом из них получается малым, и случайности, характерные для каждого отдельного наблюдения, будут заметно влиять на результат исследования, искажая его картину.

Целесообразное число интервалов k рекомендуется определять в зависимости от объёма N собранной статистики по формуле Стерджеса:

k = 1 + 3,32 lg N. (18)

Полученный результат округляется до целого и затем с учётом максимальной х_МАК и минимальной х_МИН вариант находится целесообразная ширина ∆x_i разрядов:

∆x_i = (х_МАК – х_МИН)/k. (19)

Пример 26

При помощи прибора САКН (статистический анализатор качества напряжения) собраны эмпирические данные об уровне напряжения на подстанции. Всего получено 17280 наблюдений. Минимальное зафиксированное значение напряжения u_МИН равно 370,2 В, максимальное u _МАК – 394,2 В. Определить целесообразное количество разрядов, на которые следует сгруппировать статистические данные, и их ширину.

Решение.

По формуле Стерджеса (18) целесообразное число интервалов

k = 1 + 3,32 lg N = 1 + 3,32 lg17280 = 15,07.

Целесообразная ширина разрядов (19)

∆u_i = (u_МАК – u_МИН)/k = (394,2 – 370,2)/15 = 1,6 В.

Для удобства обработки и анализа данных целесообразно иметь по возможности округленные границы интервалов. Поэтому ширину интервала имеет смысл принять равной 1,5 В, а общее число разрядов равным 17. Тогда нижняя граница первого разряда равна 369,5 В, верхняя – 371,0 В, для 2-го – 371,0 В и 372,5 В соответственно и т.д. Границы последнего 17-го разряда – 393,5 В и 395,0 В.

Группированный статистический ряд (табл. 7) записан в общем виде, так как количества наблюдений в различных разрядах в задаче не заданы.

Таблица 7. Группированный вариационный ряд уровней напряжения на подстанции